Advertisements
Advertisements
प्रश्न
समलंब चौकोन ABCD मध्ये, रेख AB || रेख DC रेख BD ⊥ रेख AD, रेख AC ⊥ रेख BC, जर AD = 15, BC = 15 आणि AB = 25 असेल तर A(`square`ABCD) किती?
Advertisements
उत्तर
रचना: रेख DE ⊥ रेख AB, A-E-B आणि रेख CF ⊥ रेख AB, A-F-B काढा.
उकल:
ΔACB मध्ये, ∠ACB = 90° ....[पक्ष]
∴ AB2 = AC2 + BC2 ....[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 252 = AC2 + 152
∴ AC2 = 625 – 225
= 400
∴ AC = `sqrt(400)` ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
= 20 एकक
आता, A(ΔABC) = `1/2 xx "BC" xx "AC"` ....(i)
तसेच, A(ΔABC) = `1/2 xx "AB" xx "CF"` ....(ii)
∴ `1/2 xx "BC" xx "AC"` = `1/2 xx "AB" xx "CF"` ...[(i) व (ii) वरून]
∴ BC × AC = AB × CF
∴ 15 × 20 = 25 × CF
∴ CF = `(15 xx 20)/25` = 12 एकक
ΔCFB मध्ये, ∠CFB = 90° ......[रचना]
∴ BC2 = CF2 + FB2 .....[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 152 = 122 + FB2
∴ FB2 = 225 – 144
∴ FB2 = 81
∴ FB = `sqrt(81)` ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
= 9 एकक
त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की AE = 9 एकक
आता, AB = AE + EF + FB ...[A-E-F, E-F-B]
∴ 25 = 9 + EF + 9
∴ EF = 25 – 18 = 7 एकक
`square`CDEF मध्ये,
रेख EF || रेख DC ....[पक्ष, A-E-F, E-F-B]
रेख ED || रेख FC ....[एकाच रेषेवरील लंब रेषा एकमेकींना समांतर असतात.]
∴ `square`CDEF हा समांतरभुज चौकोन आहे.
∴ DC = EF = 7 एकक ....[समांतरभुज चौकोनाच्या समोरासमोरील बाजू]
समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = `1/2` × (समांतर बाजूंच्या × उंची लांबींची बेरीज)
A(`square`ABCD) = `1/2` × CF × (AB + CD)
= `1/2 xx 12 xx (25 + 7)`
= `1/2 xx 12 xx 32`
∴ A(`square`ABCD) = 192 चौ. एकक
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
रस्त्याच्या दुतर्फा असलेल्या इमारतीच्या भिंती एकमेकींना समांतर आहेत. 5.8 मी लांबीच्या शिडीचे एक टोक रस्त्यावर ठेवले असता तिचे वरचे टोक पहिल्या इमारतीच्या 4 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत टेकते. त्याच ठिकाणी शिडी ठेवून रस्त्याच्या दुसऱ्या बाजूस वळविल्यास तिचे वरचे टोक दुसऱ्या इमारतीच्या 4.2 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत येते, तर रस्त्याची रुंदी काढा.
बाजूंच्या लांबी a, b, c असलेल्या त्रिकोणामध्ये जर a2 + b2 = c2 असेल तर तो कोणत्या प्रकारचा त्रिकोण असेल?
एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी काढा.
ΔABC मध्ये रेख AD ⊥ रेख BC आणि DB = 3CD, तर सिद्ध करा : 2AB2 = 2AC2 + BC2
एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू 24 सेमी व 18 सेमी असतील, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.
एका आयताच्या बाजू अनुक्रमे 35 मीटर आणि 12 मीटर असल्यास त्याचा कर्ण किती?
सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AD ⊥ BC, तर AB2 + CD2 = BD2 + AC2 हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ADC मध्ये,
AC2 = AD2 + `square^2`
∴ AD2 = AC2 – CD2 …...........(i)
तसेच, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ABD मध्ये,
AB2 = `square^2` + BD2
∴ AD2 = AB2 – BD2 …...… (ii)
∴ `square^2 - "BD"^2 = "AC"^2 - square^2` .....…….. (i) व (ii) वरून
∴ AB2 + CD2 = AC2 + BD2
काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: ∆PQR मध्ये, ∠PQR = 90°
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
PQ2 + `square` = PR2 .........…(i)
PR2 = 92 + 122
PR2 = `square + 144`
∴ PR2 = `square`
∴ PR = 15
त्रिकोणाचा कर्ण = `square`
∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = 12, तर ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे किंवा नाही ते ठरवण्यासाठी कृती करा. [l, m, n या ∠L, ∠M, व ∠N यांच्या समोरील बाजू आहेत.]
कृती: ∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = `square`
l2 = `square`, m2 = 169; n2 = 144.
l2 + n2 = 25 + 144 = `square`
`square^2` + l2 = m2
∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे.
3 सेमी व 5 सेमी त्रिज्या आणि केंद्र O असलेली दोन एककेंद्री वर्तुळे काढा. मोठया वर्तुळावर कोणताही एक A बिंदू घ्या. बिंदू A मधून लहान वर्तुळाला स्पर्शिका काढा. त्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी मोजा व लिहा. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उपयोग करून स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.
