Question

समद्विभुज त्रिकोणामध्ये एकरूप बाजूंची लांबी 13 सेमी असून त्याचा पाया 10 सेमी आहे, तर त्या त्रिकोणाच्या मध्यगासंपातापासून पायाच्या समोरील शिरोबिंदूपर्यंतचे अंतर काढा.

Answer 1

पक्ष: ΔABC हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.

G हा मध्यगासंपातबिंदू आहे.

AB = AC = 13 सेमी, BC = 10 सेमी.

साध्य: AG

रचना: AG अशाप्रकारे वाढवा, की ती बाजू BC ला D मध्ये छेदते, B - D - C.

उकल:

ΔABC चा मध्यगासंपातबिंदू AD वर आहे.

∴ रेख AD ही मध्यगा आहे.  .....(i)

∴ D हा बाजू BC चा मध्यबिंदू आहे.

∴ DC = `1/2` BC

= `1/2 xx 10 = 5` सेमी

ΔABC मध्ये रेख AD ही मध्यगा आहे. ......[(i) वरून]

∴ AB² + AC² = 2AD² + 2DC²  ....[अपोलोनिअसचे प्रमेय]

∴ 13² + 13² = 2AD² + 2(5)²

∴ 2 × 13² = 2AD² + 2 × 25

∴ 169 = AD² + 25 ....[दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

∴ AD² = 169 – 25

∴ AD² = 144

∴ AD = `sqrt(144)`

= 12 सेमी   ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]

आपल्याला माहीत आहे, की मध्यगासंपात बिंदू मध्यगेस 2 : 1 या प्रमाणात विभागतो.

∴ `("AG")/("GD") = 2/1`

∴ `("GD")/("AG") = 1/2`   ....[व्यस्त क्रियेने]

∴ `("GD + AG")/"AG" = (1 + 2)/2`   ......[योग क्रियेने]

∴ `("AD")/("AG") = 3/2`  ...[A - G - D]

∴ `12/"AG" = 3/2`

∴ AG = `(12 xx 2)/3`

= 8 सेमी

∴ त्रिकोणाच्या मध्यगासंपातापासून पायाच्या समोरील शिरोबिंदूपर्यंतचे अंतर 8 सेमी आहे.