Question

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के कोई भी तीन बिंदु एक रैखिक नहीं होते।

Answer 1

दत्त: (1) O केंद्रवाला एक वृत्त है |

(2) बिंदु A, B तथा C वृत्त पर स्थित बिंदु है |

साध्य: बिंदु A, B तथा C एक रैखिक नहीं है |

रचना: रेख AB, रेख BC, रेख OA, रेख OB और रेख OC खींचो | 

उपपत्ति:

बिंदु A, B तथा C वृत्त पर स्थित बिंदु है | ............(दत्त) 

अब, OA = OB  ..................(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ बिंदु O यह रेख AB के अंत बिंदुओं A तथा B से समदूरस्थ है |

∴ बिंदु O, रेख AB के लंब समद्‌विभाजक पर स्थित है |  .................(लंब समद्‌विभाजक के प्रमेय से) .........(1)

और OB = OC .............(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ बिंदु O यह रेख BC के अंत बिंदुओं B तथा C से समदूरस्थ है |

∴ बिंदु O, रेख BC के लंब समद्‌विभाजक पर स्थित है | .................(लंब समद्‌विभाजक के प्रमेय से) .........(2)

∴ (1) और (2) से,

बिंदु O यह रेख AB तथा रेख BC दोनों के लंब समद्‌विभाजकों पर स्थित है |

∴ रेख AB तथा रेख BC दोनों के लंब समद्‌विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करते है |

मानो कि, बिंदु A, B और C एकरैखिक बिंदु है |

इस आधार पर, रेख AB तथा रेख BC के लंब समद्‌विभाजक परस्पर समांतर है अर्थात एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करेंगे |

परंतु, यह कथन, कथन (4) से असंगत है |

∴ हमारी मान्यता गलत है |

∴ बिंदु A, B और C एकरैखिक नहीं है |

∴ वृत्त के कोई भी तीन बिंदु एकरैखिक नहीं होते |