Question

शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A(0, -1), B(2, 1) एवं C(0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो

`"D"((0 + 2)/2, (-1 + 1)/2), "E"((2 + 0)/2, (1 + 3)/2)` एवं `"F"((0 + 0)/2, (3 - 1)/2)`

D (1, 0), E (1, 2) एवं F (0, 1)

चूँकि

∆ = `1/2` [x₁ (y₂ - y₃) + x₂ (y₃ - y₁) + x₃ (y₁ - y₂)]

ar (ABC) = `1/2` [0 (1 - 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 - 1)]

= `1/2` [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]

= `1/2` [0 + 8 + 0]

= 4 वर्ग इकाई

एवं ar (DEF) = `1/2` [1 (2 - 1) + 1 (1 - 0) + 0 (0 - 2)]

= `1/2` [1 + 1 + 0]

= `1/2 xx 2`

= 1 वर्ग इकाई

`("ar"("DEF"))/("ar"("ABC")) = 1/4`

ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4

अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।