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प्रश्न
निम्न में से कौन-सी संख्या एक पूर्ण घन है?
विकल्प
243
216
392
8640
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उत्तर
216
स्पष्टीकरण -
a. हमारे पास 243 हैं।
243 को अभाज्य गुणनखंडों में हल करने पर, हमें यह प्राप्त होता है।
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
243 = (3 × 3 × 3) × 3 × 3
स्पष्टतः, गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहीकृत करने पर, हमारे पास दो गुणनखंड 3 × 3 बचते हैं।
इसलिए, 243 एक पूर्ण घन नहीं है।
b. हमारे पास 216 है।
216 को अभाज्य गुणनखंडों में हल करने पर, हमें यह प्राप्त होता है।
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है।
216 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) मिलता है।
स्पष्टतः, समान गुणनखंडों वाले त्रिक के गुणनखंडों को समूहीकृत करने पर, कोई भी गुणनखंड शेष नहीं रह जाता है।
तो, 216 एक पूर्ण घन है।
c. हमारे पास 392 हैं।
392 को अभाज्य गुणनखंडों में हल करने पर, हमें प्राप्त होता है।
392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7
गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
392 = (2 × 2 × 2) × 7 × 7
स्पष्टतः, गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहीकृत करने पर, हमारे पास दो गुणनखंड 7 × 7 बचते हैं।
इसलिए, 392 एक पूर्ण घन नहीं है।
d. हमारे पास 8640 हैं।
8640 को अभाज्य गुणनखंडों में हल करने पर, हमें प्राप्त होता है।
8640 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
8640 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × 5
स्पष्टतः, गुणनखंडों को समान गुणनखंडों के त्रिक में समूहीकृत करने पर, हमारे पास एक गुणनखंड 5 बचता है।
इसलिए, 8640 एक पूर्ण घन नहीं है।
हल करने के बाद यह स्पष्ट है कि 216 सही है।
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