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प्रश्न
किसी मकान की खिड़की भूमि से h m की ऊँचाई पर है। इस खिड़की से, सड़क के दूसरी ओर स्थित एक अन्य मकान के शिखर और आधार के क्रमशः उन्नयन और अवनमन कोण α और β पाए जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि दूसरे मकान की ऊँचाई h(1 + tan α cot β) मीटर है।
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उत्तर
मान लीजिए दूसरे घर की ऊंचाई = OQ = Hm और OB = MW = xm है।
दिया गया है, पहले घर की ऊंचाई = WB = h = MO
और ∠QWM = α, ∠OWM = β = ∠WOB ...[वैकल्पिक कोण]
अब, ∆WOB,
tan β = `"WB"/"OB" = "h"/x`
⇒ x = `"h"/(tan β)` ...(i)
और ΔQWM में,
tan α = `"QM"/"WM"`
= `("OQ" - "MO")/"WM"`
⇒ tan α = `("H" - "h")/x`
⇒ x = `("H" - "h")/(tan α)` ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं।
`"h"/(tan β) = ("H" - "h")/(tan α)`
⇒ h tan α = (H – h)tan β
⇒ h tan α = H tan β – h tan β
⇒ H tan β = h(tan α + tan β)
⇒ H = `"h"((tan α + tan β)/ tan β)`
⇒ H = `"h"(1 + tan α * 1/tan β)` ...`[∵ cot θ = 1/tan θ]`
= h(1 + tan α · cot β)
अतः, दूसरे घर की आवश्यक ऊँचाई h(1 + tanα · cotβ) है।
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