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प्रश्न
किसी ऊर्ध्वाधर मीनार की चोटी का भूमि पर स्थित किसी बिंदु से उन्नयन कोण 60° है। पहले बिंदु से 10 m उर्ध्वाधरत: ऊपर एक अन्य बिंदु पर उसका उन्नयन कोण 45° है। मीनार की उँचाई ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
माना ऊर्ध्वाधर मीनार की ऊँचाई है,
OT = H m और OP = AB = x m
दिया गया है, AP = 10 m
और ∠TPO = 60°, ∠TAB = 45°
अब, ∆TPO में,
tan 60° = `"OT"/"OP" = "H"/x`
⇒ `sqrt(3) = "H"/x`
⇒ `x = "H"/sqrt(3)` ...(i)
और ∆TAB में,
tan 45° = `"TB"/"AB" = ("H" - 10)/x`
⇒ 1 = `("H" - 10)/x`
⇒ `x = "H" - 10`
⇒ `"H"/sqrt(3) = "H" - 10` ...[समीकरण (i) से]
⇒ `"H" - "H"/sqrt(3)` = 10
⇒ `"H"(1 - 1/sqrt(3))` = 10
⇒ `"H"((sqrt(3) - 1)/sqrt(3))` = 10
⇒ H = `(10sqrt(3))/(sqrt(3) - 1)`
∴ H = `(10sqrt(3))/(sqrt(3) - 1) * (sqrt(3) + 1)/(sqrt(3) + 1)` ...[युक्तिकरण द्वारा]
= `(10sqrt(3)(sqrt(3) + 1))/(3 - 1)`
= `(10sqrt(3)(sqrt(3) + 1))/2`
⇒ H = `5sqrt(3)(sqrt(3) + 1) = 5(sqrt(3) + 3) "m"`
अतः, मीनार की आवश्यक ऊंचाई `5(sqrt(3) + 3) "m"` है।
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