Question

जर P(2,1), Q(-1,3), R(-5,-3) आणि S(-2,-5) तर `square`PQRS हा आयत आहे हे दाखवा.

Answer 1

अंतराच्या सूत्रानुसार,

d(P, Q) = `sqrt((-1 - 2)^2 + (3 - 1)^2)`

= `sqrt((-3)^2 + 2^2)`

= `sqrt(9 + 4) = sqrt13`  .....(i)

d(Q, R) = `sqrt([-5 - (-1)^2] + (-3 - 3)^2)`

= `sqrt((-5 + 1)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(16 + 36) = sqrt52` .....(ii)

d(R, S) = `sqrt([-2 - (-5)]^2 + [-5 - (-3)]^2)`

= `sqrt((-2 + 5)^2 + (-5 + 3)^2)`

= `sqrt(3^2 + (-2)^2)`

= `sqrt(9 + 4) = sqrt13` .....(iii)

d(P, S) = `sqrt((-2 - 2)^2 + (-5 - 1)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-6)^2)`

= `sqrt(16 + 36) = sqrt52` .....(iv)

∴ `square"PQRS"` मध्ये,

PQ = RS ....[(i) आणि (iii) वरून]

QR = PS .....[(ii) आणि (iv) वरून]

`square"PQRS"` हा समांतरभुज चौकोन आहे.

[ज्या चौकोनाच्या संमुख बाजूंच्या जोडया एकरूप असतील त्या चौकोनास समांतरभुज चौकोन असे म्हणतात.]

d(P, R) = `sqrt((-5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2)`

= `sqrt((-7)^2 + (-4)^2)`

= `sqrt(49 + 16) = sqrt65` .....(v)

d(Q, S) = `sqrt([-2 - (-1)]^2 + (-5 - 3)^2)`

= `sqrt((-2 + 1)^2 + (-8)^2)`

= `sqrt((-1)^2 + (-8)^2)`

= `sqrt(1 + 64) = sqrt65`  .....(vi)

चौकोन PQRS मध्ये,

PR = QS .....[(v) आणि (vi) वरून]

∴ `square"PQRS"` हा आयत आहे.

[समांतरभुज चौकोनामध्ये, जर दोन्ही कर्ण समान असतील, तर तो चौकोन आयत असतो.]