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प्रश्न
बराबर त्रिज्या 7 cm त्रिज्या वाले चार वृत्ताकार गत्ते के टुकड़ों को एक कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करता है। इन टुकड़ों के बीच में परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
चारों वृत्तों को इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को छूता है।
वृत्तों के केन्द्रों को एक रेखाखंड से जोड़ने पर, हमें भुजाओं वाला एक वर्ग ABCD प्राप्त होता है,
AB = BD = DC = CA = 2 ...(त्रिज्या)
= 2(7) cm
= 14 cm
अब, वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2
= (14)2
= 196 cm2
ABCD एक वर्ग है,
इसलिए, प्रत्येक कोण का माप 90° होता है।
अर्थात्, ∠A = ∠B = ∠D = ∠C = 90° = `pi/2` त्रिज्या = θ ...(कहें)
मान लें कि,
प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या = 7 cm
केंद्रीय कोण A के साथ क्षेत्र का क्षेत्रफल A = `(1/2)"r"^2θ`
= `1/2"r"^2θ`
= `1/2 xx 49 xx pi/2`
= `1/2 xx 49 xx 22/(2 xx 7)`
= `77/2 "cm"^2`
चूँकि केंद्रीय कोण और प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या समान हैं, प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल `77/2 "cm"^2` है।
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चारों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= `196 - (4 xx 77/2)`
= 196 – 154
= 42 cm2
इसलिए, इन टुकड़ों के बीच घिरे हिस्से का अभीष्ट क्षेत्रफल 42 cm2 है।
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