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प्रश्न
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा घात p(x) = घात q(x)।
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उत्तर
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, यदि p(x) और g(x) दो बहुपद हैं जिनमें,
g(x) ≠ 0, तब हम बहुपद q(x) और r(x) इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि,
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ r(x) = 0 या r(x) की घात < बहुपद में चर की घात।
घात p(x) = घात q(x)
भाजक के स्थिर होने पर भागफल की घात लाभांश की घात के बराबर होगी (अर्थात, जब किसी बहुपद को अचर से विभाजित किया जाता है)। आइए हम 6x2 + 2x + 2 को 2 से भाग मान लें।
यहां, p(x) = 6x2 + 2x + 2
g(x) = 2
q(x) = 3x2 + x + 1 और r(x) = 0
p(x) और q(x) की घात समान है अर्थात 2.
विभाजन एल्गोरिथ्म के लिए जाँच कर रहा है,
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
6x2 + 2x + 2 = 2(3x2 + x + 1)
= 6x2 + 2x + 2
इस प्रकार, विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट है।
संबंधित प्रश्न
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
p(x) = x4 - 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 - x
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है:
t2 - 3, 2t4 + 3t3 - 2t2 - 9t - 12
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है:
x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 - 7x2 + 2x + 2
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है:
x3 - 3x + 1, x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1
यदि x3 - 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x - 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा घात q(x) = घात r(x)।
यदि बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल शून्य हो, तो p(x) और g(x) की घातों में क्या संबंध है?
यदि एक शून्येतर बहुपद p(x) को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर शेषफल 0 हो, तो p(x) और g(x) की घातों में क्या संबंध है?
a और b के किन मानों के लिए, q(x) = x3 + 2x2 + a के शून्यक बहुपद p(x) = x5 – x4 – 4x3 + 3x2 + 3x + b के भी शून्यक होंगे? p(x) के कौन से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं है?
