Question

एका त्रिकोणाचे शिरोबिंदू A(-3,1), B(0,-2) आणि C(1,3) आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या परिकेंद्राचे निर्देशक काढा.

Answer 1

A(-3, 1), B(0, -2) आणि C(1, 3) हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत.

समजा, बिंदू O(h, k) हा ΔABC चा परिकेंद्र आहे.

OA = OB .....[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt([h - (-3)]^2 + (k - 1)^2) = sqrt((h - 0)^2 + [k - (-2)]^2)`  .....[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ [h - (-3)]² + (k - 1)² = (h - 0)² + [k - (-2)]² .....[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून] 

∴ (h + 3)² + (k - 1)² = h² + (k + 2)²

∴ h² + 6h + 9 + k² - 2k + 1 = h² + k² + 4k + 4  

∴ 6h – 2k + 10 = 4k + 4

∴ 6h – 2k – 4k = 4 – 10

∴ 6h - 6k = -6

∴ h - k = -1  .....(i) [दोन्ही बाजूंना 6 ने भागून]

OB = OC ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt((h - 0)^2 + [k - (-2)]^2) = sqrt((h - 1)^2 + (k - 3)^2)`  ......[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ (h - 0)² + [k - (-2)]²= (h - 1)² + (k - 3)²  .......[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून]

∴ h² + (k + 2)² = (h - 1)² + (k - 3)²

∴ h² + k² + 4k + 4 = h² - 2h + 1 + k² - 6k + 9

∴ 4k + 4 = -2h + 1 - 6k + 9

∴ 2h + 10k = 6

∴ h + 5k = 3  .....(ii)

समीकरण (i) मधून (ii) वजा करून,

h - k = -1
h + 5k = 3
-      -     -
 -6k = -4

∴ K = `(-4)/(-6) = 2/3`

k ची किंमत समीकरण (i) मध्ये ठेवून,

h - k = -1 मिळते.

∴ h - `2/3 = -1`

∴ h = -1 + `2/3`

∴ h = `(-1)/3`

∴ त्रिकोणाच्या परिकेंद्राचे निर्देशक `((-1)/3, 2/3)` आहेत.