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अंकगणितीय श्रृंखला को m वें पद का m गुना यह n वें पद के n गुने के बराबर हो तो दिखाइए कि उसका (m + n) वाँ पद शून्य होता है।
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₹ 1000 का 10% साधारण ब्याज की दर से निवेश किया तो प्रत्येक वर्ष के अंत मेंं मिलने वाली ब्याज की रकम अंकगणितीय श्रृंखला होगी क्या? जाँच कीजिए। यदि अंकगणितीय श्रृंखला में हो तो 20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाली ब्याज की रकम ज्ञात कीजिए। इसके लिए नीचे दी गई कृति पूर्ण कीजिए।
साधारण ब्याज = `("P" xx "R" xx "N")/100`
1 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 1)/100` = `square`
2 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 2)/100` = `square`
3 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(square xx square xx square)/100` = 300
इस प्रकार 4, 5, 6 वर्षों के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज क्रमश: 400, `square`, `square` होगा।
इस संख्या के आधार पर d = `square`, और a = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज
tn = a + (n − 1)d
t20 = `square` + (20 − 1) `square`
t20 = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त कुल ब्याज = `square`
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
एक पाँसा उछालने पर,
घटना A के लिए शर्त, ऊपरी पृष्ठभाग पर आने वाली संख्या सम है।
घटना B के लिए शर्त, ऊपरी पृष्ठभाग पर आने वाली संख्या विषम है।
घटना C के लिए शर्त, ऊपरी पृष्ठभाग पर आने वाली संख्या अभाज्य है।
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
दो पाँसे फेंकने पर,
घटना A के लिए शर्त, ऊपरी पृष्ठभागों पर स्थित संख्याओं का योगफल 6 का गुणज है।
घटना B के लिए शर्त, ऊपरी पृष्ठभागों पर आने वाली संख्याओं का योगफल कम से कम 10 है।
घटना C के लिए शर्त, दोनों ऊपरी पृष्ठभागों पर आने वाली संख्या समान है।
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
तीन सिक्कों को एक साथ उछालने पर,
घटना A के लिए शर्त, कम से कम दो ‘चित’ प्राप्त हो इस प्रकार है।
घटना B के लिए शर्त, ‘चित’ प्राप्त न हो, इस प्रकार है।
घटना C के लिए शर्त, दूसरे सिक्के पर ‘चित’ प्राप्त हो, इस प्रकार है।
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
अंको की पुनरावृत्ति न करते हुए अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5 की सहायता से दो अंकोंवाली संख्याएँ तैयार की गई हैं।
घटना A के लिए शर्त इस प्रकार है की, वे संख्याएँ सम संख्या हो।
घटना B के लिए शर्त इस प्रकार है की, संख्या 3 से विभाजित है।
घटना C के लिए शर्त इस प्रकार है की, संख्या 50 से बड़ी है।
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
तीन पुरुष तथा दो स्त्रित्रों मेंं से दो लोगों की ‘पर्यावरण समिति’ बनानी है।
घटना A के लिए शर्त इस प्रकार है की, उसमें कम-से-कम एक स्त्री समाविष्ट हो।
घटना B के लिए शर्त इस प्रकार है की, समिति मेंं एक पुरुष तथा एक स्त्री समाविष्ट हो।
घटना C के लिए शर्त इस प्रकार है की, समिति मेंं स्त्री समाविष्ट नहीं हो।
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रयोग के लिए नमूना अवकाश ‘S’ उनके नमूना घटकाें की संख्या n(S), समुच्चय की सहायता से घटनाएँ A, B, C और n(A), n(B) और n(C) लिखिए।
एक सिक्का तथा एक पाँसा एक साथ उछाला गया।
घटना A के लिए शर्त इस प्रकार है कि, ‘चित’ तथा विषम संख्या मिले।
घटना B के लिए शर्त इस प्रकार है कि, H या T प्राप्त हो और संख्या सम संख्या हो।
घटना C के लिए शर्त इस प्रकार है कि, पाँसे पर 7 से बड़ी संख्या हो तथा सिक्के पर ‘पट’ मिले।
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किसी दूध संकलन केंद्र मेंं किसानों की ओर से संकलित किए गए दूध तथा लैक्टोमीटर से मापे गए दूध में वसा (स्निग्धांश) की मात्रा दी गई है। इससे दूध में वसा की मात्रा का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| दूध में वसा (%) | 2 - 3 | 3 - 4 | 4 - 5 | 5 - 6 | 6 - 7 |
| संकलित दूध (लीटर में) | 30 | 70 | 80 | 60 | 20 |
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कुछ परिवारों के मासिक विद्युत उपभोग की वर्गीकृत बारंबारता सारणी नीचे दी गई है। इस आधार पर विद्युत उपभोग करने वाले परिवारों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| विद्युत उपभोग (युनिट) | 0 - 20 | 20 - 40 | 40 - 60 | 60 - 80 | 80 - 100 | 100 - 120 |
| परिवारों की संख्या | 13 | 50 | 70 | 100 | 80 | 17 |
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100 होटलों मेंं चाय बनाने के लिए आपूर्ति किया गया दूध तथा होटलों की संख्या की वर्गीकृत बारंबारता सारिणी दी गई है, इससे आपूर्ति किए गए दूध का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| दूध (लीटर) | 1 - 3 | 3 - 5 | 5 - 7 | 7 - 9 | 9 - 11 | 11 - 13 |
| होटलों की संख्या | 7 | 5 | 15 | 20 | 35 | 18 |
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किसी सप्ताह मेंं 200 मरीजों की आयु और उपचार लेने वाले मरीजों की संख्या निम्नलिखित बारंबारता बंटन सारिणी मेंं दी गई है। इसके आधार पर मरीजों की आयु का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| आयु (वर्ष) | 5 से कम | 5 - 9 | 10 - 14 | 15 - 19 | 20 - 24 | 25 - 29 |
| मरीजों की संख्या | 38 | 32 | 50 | 36 | 24 | 20 |
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| प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा लगाये गए वृक्ष | 1 - 3 | 4 - 6 | 7 - 9 | 10 - 12 |
| विद्यार्थी संख्या | 7 | 8 | 6 | 4 |
ऊपरोक्त बारंबारता सारिणी में दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता बहुभुज ज्ञात करना है। 4 - 6 वर्ग मेंं विद्यार्थियों की संख्या दर्शाने वाला बिंदुओं का निर्देशांक ________ है।
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निम्नलिखित वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारिणी मेंं किसी मिठाई की दुकान मेंं भिन्न-भिन्न वजनवाली मिठाई की माँग दी गई है। इस आधार पर वजन के माँग का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| मिठाई का वजन (ग्राम) | 0 - 250 | 250 - 500 | 500 - 750 | 750 - 1000 | 1000 - 1250 |
| ग्राहक संख्या | 10 | 60 | 25 | 20 | 15 |
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निश्चयक का मान ज्ञात करने के लिए निम्न कृति को पूर्ण करो:
कृति:
`|(2sqrt(3), 9),(2, 3sqrt(3))| = 2sqrt(3) xx square - 9 xx square`
= `square` – 18
= `square`
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निम्नलिखित युगपत समीकरण, क्रेमर पद्धति से हल करने के लिए Dx तथा Dy के मान ज्ञात करो।
3x + 5y = 26; x + 5y = 22
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यदि वर्ग समीकरण kx2 – 10x + 3 = 0 का एक मूल 3 है, तो k का मान ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति:
kx2 – 10x + 3 = 0 इस वर्ग समीकरण का एक मूल 3 है।
x = `square` यह मान उपरोक्त समीकरण में रखने पर,
k`square`2 – 10 × `square` + 3 = 0
∴ `square` – 30 + 3 = 0
∴ 9k = `square`
∴ k = `square`
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किसी नाट्यगृह में कुर्सियों की कुल 27 कतारें हैं। पहली कतार में कुल 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी कतार में 22 कुर्सियाँ तथा तीसरी कतार में कुल 24 कुर्सियाँ हैं तथा आगे भी इस प्रकार हों, तो नाट्यगृह में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?
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वर्ग समीकरण x2 + 10x + 2 = 0 को सूत्र-विधि से हल करो।
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किसी त्रिभुज के कोणों के माप अंकगणितीय श्रृंखला में हैं। सबसे छोटे कोण का माप सामान्य अंतर के 5 गुना है। उस त्रिभुज के सभी कोणों के माप ज्ञात करो। (त्रिभुज के कोणों के माप a, a + d, a + 2d लो।)
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