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f(x) = 9x2 + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R+ → [-5, ∞] पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f-1(y) = `(((sqrt(y + 6)) - 1)/3)` है।
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मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।
(संकेत: कल्पना कीजिये कि f के दो प्रतिलोम फलन g1 तथा g2 है। तब सभी y ∈ Y के लिए fog1(y) = 1Y(y) = fog2(y) है। अब f के एकैकी गुण का प्रयोग कीजिए)
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f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c, द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। f -1 ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि (f -1)-1= f है।
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मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f-1 का प्रतिलोम f है अर्थात् (f -1)-1 = f है।
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यदि f : R → R, f(x) = `(3 - x^3)^(1/3)`, द्वारा प्रदत्त है, तो fof(x) बराबर है।
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मान लीजिए कि f(x) = `(4x)/(3x + 4)` द्वारा परिभाषित एक फलन f : R - `{-4/3}` → R है। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g : परिसर f → R - `{-4/3}`, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:
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x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?
`[(3x+7, 5),(y+1, 2-3x)] = [(0,y-2),(8,4)]`
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यदि A= `[("cos" alpha, "-sin" alpha),("sin" alpha, "cos" alpha)]` तथा A + A' = I, तो α का मान है।
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निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
`|(2,-4),(0,3)|`
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निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
`|(a,c),(b,d)|`
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निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
`|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)|`
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निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
`|(1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2)|`
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दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके Δ = `|(5,3,8),(2,0,1),(1,2, 3)|` का मान ज्ञात कीजिए।
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तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके Δ = `|(1,x,yz),(1,y,zx),(1,z,xy)|` का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि Δ = `|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|` और aij का सहखंड Aij हो तो Δ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
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सत्यापित कीजिए कि A(adj A) = (adj A)A = |A|I है।
`[(2,3),(-4,-6)]`
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वक्र y = 3x4 - 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
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वक्र `"y" = ("x" - 1)/("x" - 2), "x" ne 2` के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
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वक्र y = x3 - x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
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वक्र y = x3 - 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 3 है।
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