Arts (Hindi Medium) Class 12 [कक्षा १२] - CBSE Question Bank Solutions

मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है | एक ऐसा फलन g : R → R ज्ञात कीजिए जिसके लिए g o f = f o g = 1_R हो |

सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : −1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (Injective) है।

दो फलनों f : N → Z तथा g : Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परंतु g एकैक नहीं है |

(संकेतन: f(x) = x तथा g(x) = |x| पर विचार कीजिए |)

समुच्चय {1, 2, 3, ..., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

दो फलनों f : N → N तथा g : N → N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि, gof आच्छादक है किंतु f आच्छादन नहीं है |

(संकेत: f(x) = x + 1 तथा g(x) = `{{:(x - 1","    x > 1),(1"," x = 1):}` पर विचार कीजिए |)

मान लीजिए कि A = `[(0, 1), (0, 0)]` हो तो दिखाइए कि सभी n ∈ N के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^{n - 1}bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।

यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = A, तो (I + A)³ - 7A बराबर है:

यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो ______।

यदि A = `[(alpha, beta), (ϒ, -alpha)]` इस प्रकार है कि A² = I, तो ______।

यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।

आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि `"X"[(1,2,3), (4,5,6)] = [(-7,-8,-9), (2,4,6)]` है।

यदि `[x -5 -1][(1,0,2), (0,2,1), (2,0,3)][(x),(4),(1)] = O` है तो x का मान ज्ञात कीजिए।

x के किस मान के लिए `[(1,2,1)][(1,2,0), (2,0,1), (1,0,2)][(0),(2),(x)] = 0` है |

x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = `[(0,2y,z),(x,y,-z),(x,-y,z)]` समीकरण A’A = I को संतुष्ट करता है।

यदि A = `[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`, तो सिद्ध कीजिए कि `"A"^"n" = [(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1})]`, n ∈ N

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

xy = a e^x + b e^-x + x² : `x (d^2y)/dx^2 + 2 dy/dx - xy + x^2 - 2 = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

y = e^x (a cos x + b sin x) : `(d^2y)/dx^2 - 2 dy/dx + 2 y = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

y = x sin 3x : `(d^2y)/dx^2 + 9 y - 6 cos 3x = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

`x^2 = 2y^2 log y : (x^2 + y^2) dy/dx - xy = 0`