Question

यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक –1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है ______।

Options

• b – a + 1

• b – a – 1

• a – b + 1

• a – b –1

Answer 1

यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक –1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है b – a + 1। 

स्पष्टीकरण:

माना p(x) = x³ + ax² + bx + c

माना a, p और y दिए गए घन बहुपद p(x) के शून्यक हैं।

∴ α = –1  ......[दिया गया]

और p(−1) = 0

⇒ (–1)³ + a(–1)² + b(–1) + c = 0

⇒ –1 + a – b + c = 0

⇒ c = 1 – a + b   ......(i)

हम वह जानते हैं,

सभी शून्यों का गुणनफल = `(-1)^3`

`"स्थिर पद"/("का गुणांक" x^3) = - c/1`

αβγ = – c

⇒ (–1)βγ = −c  .......[∴ α = –1]

⇒ βγ = c

⇒ βγ = 1 – a + b  ......[समीकरण (i) से]

अतः अन्य दो जड़ों का गुणनफल 1 – a + b है।

वैकल्पिक विधि:

चूँकि −1 घन बहुपद f(x) = x²+ ax² + bx + c के शून्यकों में से एक है।

यानी, (x + 1) f(x) का एक गुणनखंड है।

अब, विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके,

           `x^2 + (a - 1)x + (b - a + 1)`
`x + 1")"overline(x^3 + ax^2 + bx + c)`
           x³ + x²                    
              (a – 1)x² + bx
             (a – 1)x² + (a – 1)x   
                      (b – a + 1)x + c
                      (b – a + 1)x (b – a + 1)      
                                         (c – b + a – 1)

⇒ x³ + ax² + bx + c = (x + 1)x {x² + (a – 1)x + (b – a + 1) > + (c – b + a – 1)

⇒ x³ + ax² + bx + (b – a + 1) = (x + 1){x² + (a – 1)x + (b – a + 1}}

मान लीजिए a और p दिए गए बहुपद के अन्य दो शून्यक हैं।

सभी शून्यों का गुणनफल = `(-1)alpha*beta`

= `(-"स्थिर पद")/("गुणांक" x^3)`

⇒ `- alpha*beta = (-(b - a + 1))/1`

⇒ `alpha beta` = – a + b + 1

अतः अन्य दो जड़ों का आवश्यक गुणनफल (–a + b + 1) है।