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Question
यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण y = m1x + c1, y = m2x + c2 और y = m3x + c3 हैं, संगामी हैं तो दिखाइए कि m1(c2 – c3) + m2(c3 – c1) + m3(c1 – c2) = 0
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Solution
दी गई रेखाओं के समीकरण हैं
y = m1x + c1 …(1)
y = m2x + c2 …(2)
y = m3x + c3 …(3)
समीकरण (1) को (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
0 = (m2 − m1)x + (c2 − c1)
= (m1 − m2)x = c2 − c1
= `x = (c_2 - c_1)/(m_1 - m_2)`
x के इस मान को (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है
`y = m_1 ((c_2 - c_1)/(m_1 - m_2)) + c_1`
`y = ((m_1c_2 - m_1c_1)/(m_1 - m_2)) + c_1`
`y = (m_1c_2 - m_1c_1 + m_1c_1 - m_2c_1)/(m_1 - m_2)`
`y = (m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2)`
∴ `((c_2 - c_1)/(m_1 - m_2), (m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2))` रेखा (1) और (2) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
यह दिया गया है कि रेखाएँ (1), (2), और (3) संगामी हैं। इसलिए, रेखाओं (1) और (2) का प्रतिच्छेदन बिंदु भी समीकरण (3) को संतुष्ट करता है।
= `(m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2) = m_3 ((c_2 - c_1)/(m_1 - m_1)) + c_3`
= `(m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2) = (m_3c_2 - m_3c_1 + c_3m_1 - c_3m_2)/(m_1 - m_2)`
= m1c2 - m2c1 - m3c2 + m3c1 - c3m1 + c3m2 = 0
= m1 (c2 - c3) + m2 (c3 - c1) + m3 (c1 - c2) = 0
अत:, m1 (c2 - c3) + m2 (c3 - c1) + m3 (c1 - c2) = 0
