Question

यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂ और y = m₃x + c₃ हैं, संगामी हैं तो दिखाइए कि m₁(c₂ – c₃) + m₂(c₃ – c₁) + m₃(c₁ – c₂) = 0

Answer 1

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

y = m₁x + c₁   …(1)

y = m₂x + c₂   …(2)

y = m₃x + c₃   …(3)

समीकरण (1) को (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

0 = (m₂ − m₁)x + (c₂ − c₁₎

= (m₁ − m₂)x = c₂ − c₁

= `x = (c_2 - c_1)/(m_1 - m_2)`

x के इस मान को (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

`y = m_1 ((c_2 - c_1)/(m_1 - m_2)) + c_1`

`y = ((m_1c_2 - m_1c_1)/(m_1 - m_2)) + c_1`

`y = (m_1c_2 - m_1c_1 + m_1c_1 - m_2c_1)/(m_1 - m_2)`

`y = (m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2)`

∴ `((c_2 - c_1)/(m_1 - m_2), (m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2))` रेखा (1) और (2) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

यह दिया गया है कि रेखाएँ (1), (2), और (3) संगामी हैं। इसलिए, रेखाओं (1) और (2) का प्रतिच्छेदन बिंदु भी समीकरण (3) को संतुष्ट करता है।

= `(m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2) = m_3 ((c_2 - c_1)/(m_1 - m_1)) + c_3`

= `(m_1c_2 - m_2c_1)/(m_1 - m_2) = (m_3c_2 - m_3c_1 + c_3m_1 - c_3m_2)/(m_1 - m_2)`

= m₁c₂ - m₂c₁ - m₃c₂ + m₃c₁ - c₃m₁ + c₃m₂ = 0

= m₁ (c₂ - c₃) + m₂ (c₃ - c₁) + m₃ (c₁ - c₂) = 0

अत:, m₁ (c₂ - c₃) + m₂ (c₃ - c₁) + m₃ (c₁ - c₂) = 0