Question

यदि p और q क्रमशः मूल बिंदु से रेखाओं x cos θ – y sin θ = k cos 2θ और x sec θ +y cosec θ = k पर लंब की लंबाइयाँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि p² + 4q² = k²

Answer 1

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

x cos θ – y sinθ = k cos 2θ    … (1)

x secθ + y cosec θ = k     … (2)

एक बिंदु (x₁, y₁) से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी (d) d `|Ax_1 + By_1 + C|/sqrt(A^2 + B^2)` द्वारा दी गई है

समीकरण (1) की तुलना रेखा के सामान्य समीकरण यानी, Ax + By + C = 0 से करने पर, हमें A = cosθ, B = -sinθ, और C = -k cos 2θ प्राप्त होता है।

यह दिया गया है कि p (0, 0) से रेखा (1) तक लंब की लंबाई है।

`∴ |A (0) + B (0) + C|/sqrt(A^2 + B^2) = |C|/sqrt(A^2 + B^2) = |-k cos 2θ|/sqrt(cos^2θ + sin^2θ) = |-6 cos 2θ|`     .....(3)

समीकरण (2) की तुलना रेखा के सामान्य समीकरण यानी, Ax + By + C = 0 से करने पर, हमें A = cosθ, B = cosecθ, और C= -k प्राप्त होता है।

यह दिया गया है कि q (0, 0) से रेखा (2) तक लंब की लंबाई है।

∴ `|A(0) + B(0) + C|/sqrt(A^2 + B^2) = |C|/sqrt(A^2 + B^2) = |-k|/sqrt(sec^2 θ + cosec^2θ)`        ......(4)

(3) और (4) से, हमारे पास है,

`p^2 + 4q^2 = (|-k cos 2θ|)^2 + 4 (|-k|/sqrt(sec^θ + cosec^2θ))^2`

= `k^2 cos^2 2θ + (4k^2)/(sec^2θ + cosec^2θ)`

= `k^2 cos^2 2θ + (4k^2)/(1/(cos^2θ) + 1/(sin^2 + θ)`

= `k^2 cos^2 2θ + (4k^2)/((sin^2θ + cos^2θ)/(sin^2θ cos^2θ))`

= `k^2 cos^2 2θ  (4k^2)/((1/(sin^2θ cos^2θ)))`

= k² cos² 2θ + 4k² sin²θ cos²θ

= k² cos² 2θ + k² (2sinθ cosθ)²

= k² cos² 2θ + k² sin² 2θ

= k² (cos² 2θ + sin² 2θ)

= k²

यहाँ, यह सिद्ध होता हैं, p² + 4q² + k².