Question

यदि f(x) = `{(|"x"| +  1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}`

तो a के किन मानों के लिए `lim_("x" → "a") f("x")` का अस्तित्व है?

Answer 1

दिया गया फलन:

f(x)  = `{(|"x"| +  1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}`

(i) x = 0 पर,

`lim_("x" → 0^-) f("x") = lim_("x"  → 0^-) (1 - "x") = 1`

`lim_("x" → 0^+) f("x") = lim_("x"  → 0^+) ("x" - 1) = -1`

`lim_("x" → 0^-) f("x") ≠ lim_("x" → 0^+) f("x")`

x = 0 पर `lim_("x" → 1) f("x")` का अस्तित्व नहीं है।

(ii) जब a < 0

`lim_("x" → "a"^-) f("x")  = lim_("x" → "a"^-) (1 - "x") = 1 - "a"`

`lim_("x" → "a"^+) f("x")  = lim_("x" → "a"^+) (1 - "x") = 1 - "a"`

∴ `lim_("x" → "a"^-) f("x")  = lim_("x" → "a"^+) f("x")`

अर्थात् `lim_("x" → "a") f("x") = 1 - "a"`

(iii) जब a > 0

`lim_("x" → "a"^-) f("x")  = lim_("x" → "a"^-) ("x" - 1) = "a" - 1`

`lim_("x" → "a"^+) f("x")  = lim_("x" → "a"^+) ("x" - 1) = "a" - 1`

∴ `lim_("x" → "a"^-) f("x")  = lim_("x" → "a"^+) f("x")`

अतः `lim_("x" → "a") f("x") = "a" - 1`

इस प्रकार,

जब a < 0, `lim_("x" → "a") f("x") = 1 - "a"`

जब a > 0 `lim_("x" → "a") f("x") = "a" - 1`

अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए `lim_("x" → "a")` f(x) का अस्तित्व है।