Question

यदि बिन्दु A (x, y), बिन्दुओं B (−2, 0) और C (2, 0) से एकसमान दूरी पर है, तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A, y-अक्ष पर स्थित है। यदि Δ ABC एक समबाहु त्रिभुज हो, तो बिन्दु A के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

1. सिद्ध कीजिए कि A, y-अक्ष पर स्थित है।

चूँकि बिंदु A(x, y), B(–2, 0) और C(2, 0) से समान दूरी पर हैं, इसलिए दूरियाँ AB और AC बराबर हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करके `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`:

`AB = sqrt((x - (-2))^2 + (y - 0)^2)`

= `sqrt((x + 2)^2 + y^2)`

`AC = sqrt((x - 2)^2 + (y - 0)^2)`

= `sqrt((x - 2)^2 + y^2)`

चूँकि AB = AC है, इसलिए उनके वर्ग भी बराबर हैं:

(x + 2)² + y² = (x – 2)² + y²

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

x² + 4x + 4 + y² = x² – 4x + 4 + y²

4x = –4x

⇒ 8x = 0

⇒ x = 0

कोई भी बिंदु जिसका x-निर्देशांक 0 हो, y-अक्ष पर स्थित होता है।

2. एक समबाहु त्रिभुज के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

सबसे पहले, आधार BC की लंबाई ज्ञात कीजिए:

`BC = sqrt((2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2)`

= `sqrt(4^2)`

= 4 इकाई

चूँकि त्रिभुज समबाहु है, AB = BC = 4

x = 0 के साथ दूरी AB का उपयोग करते हुए:

`sqrt((0 + 2)^2 + (y - 0)^2) = 4`

2² + y² = 4²

4 + y² = 16

⇒ y² = 12

`y = ± sqrt(12)`

= `± 2sqrt(3)`

बिंदु A के निर्देशांक या तो `(0, 2sqrt(3))` हैं या `(0, -2sqrt(3))`

बिंदु A y-अक्ष पर स्थित है, क्योंकि B(–2, 0) और C(2, 0) से समान दूरी पर होने के लिए इसका x-निर्देशांक 0 होना चाहिए; और एक समबाहु त्रिभुज में इसके निर्देशांक `(0, 2sqrt(3))` या `(0, -2sqrt(3))` होते हैं।