Question

यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं

Options

• एक वर्ग

• एक समचतुर्भुज

• एक आयत

• कोई अन्य समांतर चतुर्भुज

Answer 1

एक आयत

स्पष्टीकरण -

दिया गया है, APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं।

माना कोण APQ और CQP के समद्विभाजक बिंदु M पर मिलते हैं और कोण BPQ और PQD के समद्विभाजक बिंदु N पर मिलते हैं।

PM, MQ, QN और NP को मिलाइए।

चूंकि, APB || CQD

फिर, ∠APQ = ∠PQD  ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

⇒ ∠MPQ = 2∠NQP   ...[चूँकि, PM और NQ क्रमशः ∠APQ और ∠DQP के कोण समद्विभाजक हैं।]

⇒ ∠MPQ = ∠NQP  ...[दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर] [चूंकि, एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं।]

∴ PM || QN 

इसी प्रकार, ∠BPQ = ∠CQP  ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

∴ PN || QM

इसलिए, चतुर्भुज PMQN एक समांतर चतुर्भुज है।

∵ ∠CQD = 180°   ...[चूँकि, CQD एक रेखा है।]

⇒ ∠CQP + ∠DQP = 180°

⇒ 2∠MQP + 2∠NQP = 180°  ...[चूँकि, MQ और NQ कोणों CQP और DQP के समद्विभाजक हैं।]

⇒ 2(∠MQP + ∠NQP) = 180°

⇒ ∠MQN = 90°

अत:, PMQN एक आयत है।