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Question
यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं
Options
एक वर्ग
एक समचतुर्भुज
एक आयत
कोई अन्य समांतर चतुर्भुज
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Solution
एक आयत
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं।
माना कोण APQ और CQP के समद्विभाजक बिंदु M पर मिलते हैं और कोण BPQ और PQD के समद्विभाजक बिंदु N पर मिलते हैं।
PM, MQ, QN और NP को मिलाइए।
चूंकि, APB || CQD
फिर, ∠APQ = ∠PQD ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
⇒ ∠MPQ = 2∠NQP ...[चूँकि, PM और NQ क्रमशः ∠APQ और ∠DQP के कोण समद्विभाजक हैं।]
⇒ ∠MPQ = ∠NQP ...[दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर] [चूंकि, एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं।]
∴ PM || QN
इसी प्रकार, ∠BPQ = ∠CQP ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
∴ PN || QM
इसलिए, चतुर्भुज PMQN एक समांतर चतुर्भुज है।
∵ ∠CQD = 180° ...[चूँकि, CQD एक रेखा है।]
⇒ ∠CQP + ∠DQP = 180°
⇒ 2∠MQP + 2∠NQP = 180° ...[चूँकि, MQ और NQ कोणों CQP और DQP के समद्विभाजक हैं।]
⇒ 2(∠MQP + ∠NQP) = 180°
⇒ ∠MQN = 90°
अत:, PMQN एक आयत है।
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