Advertisements
Advertisements
Question
यदि A = `[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`, तो सत्यापित कीजिए कि A3 − 6A2 + 9A − 4I = 0 है तथा इसकी सहायता से A−1 ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
A = `[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
A2 = AA
= `[(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)] [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
= `[(4+1+1,-2-2-1,2+1+2),(-2-2-1,1+4+1,-1-2-2),(2+1+2,-1-2-2,1+1+4)]`
= `[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)]`
A3 = A2A
= `[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)] [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)]`
= `[(12+5+5,-6-10-5,6+5+10),(-10-6-5,5+12+5,-5-6-10),(10+5+6,-5-10-6,5+5+12)]`
= `[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)]`
अब, A3 − 6A2 + 9A − 4I
= `[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)] - 6 [(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)] + 9 [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)] - 4 [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
= `[(22,-21,21),(-21,22,-21),(21,-21,22)] - [(36,-30,30),(-30,36,-30),(30,-30,36)] + [(18,-9,9),(-9,18,-9),(9,-9,18)] - [(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)]`
= `[(22 - 36 + 18 - 4, -21 + 30 - 9 - 0, -21 - 30 + 9 - 0),(-21 + 30 - 9 - 0, 22 - 36 + 18 - 4, -21 - 30 + 9 - 0),(21 - 30 + 9 - 0, -21 + 30 - 9 - 0,22 - 36 + 18 - 4)]`
= `[(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]`
= 0
इसलिए A3 − 6A2 + 9A − 4I = 0
अब, A3 − 6A2 + 9A − 4I = 0
⇒ 4I = A3 − 6A2 + 9A
दोनों पक्षों को A−1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ `A^(−1) = 1/4 A^2 - 6/4 A + 9/4I`
= `1/4[(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6)] - 6/4 [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)] + 9/4 [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
= `1/4 [(6-12+9,-5+6+0,5-6+0),(-5+6+0,6-12+9,-5+6+0),(5-6+0,-5+6+0,6-12+9)]`
= `1/4 [(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3)]`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आव्यूह का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए।
`[(1,2),(3,4)]`
आव्यूह का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए।
`[(1,-1,2),(2,3,5),(-2,0,1)]`
सत्यापित कीजिए कि A(adj A) = (adj A)A = |A|I है।
`[(1,-1,2),(3,0,-2),(1,0,3)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(2,-2),(4,3)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(-1,5),(-3,2)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,2,3),(0,2,4),(0,0,5)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,0,0),(3,3,0),(5,2,-1)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4)]`
दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,0,0),(0,cos alpha, sin alpha),(0,sin alpha, -cos alpha)]`
यदि A = `[(3,7),(2,5)]` और B = `[(6,8),(7,9)]` है तो सत्यापित कीजिए कि (AB)−1 = B−1A−1 है।
यदि A = `[(3,1),(-1,2)]` है तो दर्शाइए कि A2 – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A–1 ज्ञात कीजिए।
आव्यूह A = `[(3,2),(1,1)]` के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A2 + aA + bI = 0 हो।
आव्यूह A = `[(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]` के लिए दर्शाइए कि A3 − 6A2 + 5A + 11 I = 0 है। इसकी सहायता से A−1 ज्ञात कीजिए।
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो |adj A| का मान है:
यदि A कोटि 2 को व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A-1) बराबर है:
