Question

स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:

स्तंभ A	स्तंभ B
(a) `i + sqrt3` का ध्रुवीय रूप है	(i) (−2, 0) और (2, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक
(b) `−1 + sqrt(−3)` का कोणांक है	(ii) केंद्र (0, −4) और त्रिज्या 3 इकाई वाले वृत्त पर या उसके बाहर
(c) यदि |z + 2| = |z − 2|, तो z का बिंदु पथ है	(iii) `(2pi)/3`
(d) यदि |z + 2i| = |z − 2i|, तो z का बिंदुपथ है	(iv) (0, −2) और (0, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक
(e) |z + 4i| ≥ 3 से निरूपित क्षेत्र है	(v) `2(cos  pi/6 + isin  pi/6)`
(f) |z + 4| ≤ 3 से निरूपित क्षेत्र है	(vi) केंद्र (−4, 0) और त्रिज्या 3 मात्रक वाले वृत्त पर या उसके अंदर
(g) `(1 + 2i)/(1 - i)` का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है	(vii) प्रथम चतुर्थांश
(h) 1 - i का व्युत्क्रम किस चतुर्थांश में स्थित है	(viii) तीसरा चतुर्थांश

Answer 1

स्तंभ A	उत्तर
(a) `i + sqrt3` का ध्रुवीय रूप है	(v) `2(cos  pi/6 + i sin  pi/6)`
(b) `−1 + sqrt(−3)` का कोणांक है	(iii)  `(2pi)/3`
(c) यदि |z + 2| = |z − 2|, तो z का बिंदु पथ है	(i) (−2, 0) और (2, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक
(d) यदि |z + 2i| = |z − 2i|, तो z का बिंदुपथ है	(iv) (0, −2) और (0, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक
(e) |z + 4i| ≥ 3 से निरूपित क्षेत्र है	(ii) केंद्र (0, −4) और त्रिज्या 3 इकाई वाले वृत्त पर या उसके बाहर
(f) |z + 4| ≤ 3 से निरूपित क्षेत्र है	(vi) केंद्र (−4, 0) और त्रिज्या 3 मात्रक वाले वृत्त पर या उसके अंदर
(g) `(1 + 2i)/(1 - i)` का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है	(viii) तीसरा चतुर्थांश
(h) 1 - i का व्युत्क्रम किस चतुर्थांश में स्थित है	(vii) प्रथम चतुर्थांश

स्पष्टीकरण:

(a) पता है की, `z = i + sqrt3`

ऐसा समझें की, z = r[cosθ + isinθ] का धुवीय रूप है।

​⇒ `sqrt3+i` = rcosθ + risinθ

⇒ `r = sqrt((sqrt3)^2 + (1)^2)`

⇒ r = 2​

पता है की, tanα = `1/sqrt3`

⇒ `α = π/6`

ऐसा समझें की, जबसे x > 0, y > 0

इसलिए, `z = 2[cos  π/6 + isin  π/6]` का धुवीय रूप है।

(b) पता है की, `z = -1 + sqrt(-3)`

⇒ z = -1 + `sqrt3i`

ऐसा समझें की, तर्क = `tan^-1|sqrt3/-1|`

⇒ z = `tan^-1|sqrt3|`

⇒ z = `pi/3`

⇒ `alpha = pi/3`

ऐसा समझें की, x < 0 और y < 0

⇒ θ = π – α

⇒ `theta = pi - pi/3`

⇒ `0 = (2pi)/3`

(c) पता है की, |z + 2| = |z - 2|

देखिए, z = x + iy

⇒ |x + yi + 2| = |x + yi − 2|

⇒ |(x + 2) + yi| = |(x − 2) + yi|

⇒ `sqrt((x + 2)^2 + y^2) = sqrt((x - 2)^2 + y^2)`

⇒ (x + 2)² + y² = (x – 2)² + y²

⇒ (x + 2)² = (x – 2)²

आगे हल करें।

⇒ x² + 4 + 4x = x² + 4 – 4x

⇒ 8x = 0

⇒ x = 0

यह y−अक्ष के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है और यह (−2, 0) और (2, 0) बिंदुओं से जुड़ने वाली रेखा के लंबवत है।

(d) पता है की, |z + 2i| = |z − 2i|

देखिए, z = x + yi

⇒ |x + yi + 2i| = |x + yi – 2i|

⇒ |x + (y + 2)i| = |x + (y – 2)i|

⇒ `sqrt(x^2 + (y + 2)^2) = sqrt(x^2 + (y -2)^2)`

⇒ x² + (y + 2)² = x² + (y – 2)² 

⇒ (y + 2)² = (y – 2)²

आगे हल करें।

⇒ y² + 4 + 4y = y² + 4 – 4y

⇒ 8y = 0

⇒ y = 0

ऐसा समझें की, यह x-अक्ष के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है और (0, −2) और (0, 2) बिंदुओं से जुड़ने वाली रेखा के लंबवत होता है।

(e) पता है की, |z + 4i| ≥ 3

देखिए, z = x + iy

⇒ |x + yi + 4i| ≥ 3 

⇒ |x + (y + 4)i| ≥ 3 

⇒ `sqrt(x^2 + (y + 4)^2` ≥ 3

⇒ x² + (y + 4)² ≥ 9

⇒ x² + y² + 8y + 16 ≥ 9

⇒ x² + y² + 8y + 7 ≥ 0

आगे हल करें।

⇒ r = `sqrt((4)^2 - 7)`

⇒ r = 3

ऐसा समझें की, यह केंद्र (0, −4) या त्रिज्या 3 पर या उसके बाहर वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

(f) पता है की, |z + 4| ≤ 3

देखिए, z = x + iy

⇒ |x + iy + 4| ≤ 3

⇒ |(x + 4) + yi| ≤ 3

⇒ `sqrt((x + 4)^2 + (y)^2) ≤ 3`

⇒ `x^2 + y^2 + 8x + 7 ≤ 0`

आगे हल करें।

⇒ r = `sqrt((4)^2 - 7)`

⇒ r = 3

ऐसा समझें की, यह केंद्र (−4, 0) और त्रिज्या 3 पर या उसके अंदर वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

(g) देखिए, z = `(1 + 2i)/(1 - i)`

⇒ z = `(1 + 2i)/(1 - i) xx (1 - i)/(1 - i)`

= `(1 + i + 2i + 2i^2)/(1 - i^2)`

= `(1 + i + 2i - 2)/(1 + 1)`

= `(-1 + 3i)/2`

आगे हल करें।

⇒ z = `- 1/2 + 3/2 i`

इसलिए,

⇒ `barz = - 1/2 - 3/2 i` ऐसा समझें की, यह तीसरा चतुर्थांश में स्थित है।

(h) देखिए, z = 1 - i

ऐसा समझें की, z का `1/z` पारस्परिक है।

⇒ `1/(1 - i) xx (1 + i)/(1 + i)`

⇒ `(1 + i)/(1 - i^2)`

⇒ `1/2 + 1/2i`

ऐसा समझें की, यह प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।