Question

`sin theta (1+ tan theta) + cos theta (1+ cot theta) = ( sectheta+ cosec  theta)`

Answer 1

LHS   = ` sin theta (1+ tan theta ) + cos theta ( 1+ cot theta )`

         =` sin theta + sin theta xx (sin theta)/(cos theta)  + cos theta +cos theta xx (cos theta)/( sin theta)`

        = `( cos theta sin ^2 theta + sin^3 theta + cos^2 theta sin theta + cos^3 theta)/(cos theta sin theta)`

      =`((sin^3 theta + cos^3 theta)+(cos theta  sin ^2 theta + cos ^2 theta sin theta))/(cos theta sin theta)` 

     =`((sin theta + cos theta )(sin^2 theta - sin theta cos theta + cos ^2 theta )+ sin theta cos theta ( sin theta + cos theta))/(cos theta sin theta)`

     =`((sin theta  + cos theta )( sin^2 theta + cos^2 theta - sin theta cos theta + sin theta cos theta))/(cos theta sin theta)`

    =`((sin theta + cos theta)(1))/(cos theta sin theta)`

   = `(sin theta)/(cos theta sin theta) + (cos theta)/( cos theta sin theta)`

   =`1/cos theta + 1/ sin theta`

    =` sec theta  + cosec  theta`

    =RHS

Answer 2

LHS   = ` sin theta (1+ tan theta ) + cos theta ( 1+ cot theta )`

         =` sin theta + sin theta xx (sin theta)/(cos theta)  + cos theta +cos theta xx (cos theta)/( sin theta)`

        = `( cos theta sin ^2 theta + sin^3 theta + cos^2 theta sin theta + cos^3 theta)/(cos theta sin theta)`

      =`((sin^3 theta + cos^3 theta)+(cos theta  sin ^2 theta + cos ^2 theta sin theta))/(cos theta sin theta)` 

     =`((sin theta + cos theta )(sin^2 theta - sin theta cos theta + cos ^2 theta )+ sin theta cos theta ( sin theta + cos theta))/(cos theta sin theta)`

     =`((sin theta  + cos theta )( sin^2 theta + cos^2 theta - sin theta cos theta + sin theta cos theta))/(cos theta sin theta)`

    =`((sin theta + cos theta)(1))/(cos theta sin theta)`

   = `(sin theta)/(cos theta sin theta) + (cos theta)/( cos theta sin theta)`

   =`1/cos theta + 1/ sin theta`

    =` sec theta  + cosec  theta`

    =RHS