Question

सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं A(−1, 7) तथा B(4, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु P रेखा x − 3y = −1 पर स्थित है। PA व PB की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ m = 3, n = 2, A(–1, 7) और B(4, –3) हैं।

विभाजन सूत्र: `P(x, y) = ((mx_2 + nx_1)/(m + n), (my_2 + ny_1)/(m + n))`

`x = (3(4) + 2(-1))/(3 + 2)`

= `(12 - 2)/5`

= `10/5`

= 2

`y = (3(-3) + 2(7))/(3 + 2)`

= `(-9 + 14)/5`

= `5/5`

= 1

तो, P (2, 1) है।

सत्यापन: P(2, 1) को x – 3y = –1 में प्रतिस्थापित कीजिए:

बायां पक्ष = 2 – 3(1)

= 2 – 3

= –1

चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष., इसलिए बिंदु P रेखा पर स्थित है।

लंबाई की गणना:

दूरी सूत्र: `d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2`

`PA = sqrt((2 - (-1))^2 + (1 - 7)^2`

= `sqrt(3^2 + (-6)^2`

= `sqrt(9 + 36)`

= `sqrt(45)`

= `3sqrt(5)` इकाई

`PB = sqrt((4 - 2)^2 + (-3 - 1)^2`

= `sqrt(2^2 + (-4)^2`

= `sqrt(4 + 16)`

= `sqrt(20)`

= `2sqrt(5)` इकाई

बिंदु P(2, 1) समीकरण x – 3y = –1 को संतुष्ट करता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि यह रेखा पर स्थित है।

लंबाईयाँ `PA = 3sqrt(5)` इकाई और `PB = 2sqrt(5)` इकाई हैं।