Question

Prove the following identities:

`(tan θ + sec θ - 1)(tan θ + sec θ + 1) = (2 sin θ)/(1 - sin θ)`

Answer 1

LHS = (tan θ + sec θ)² – 1 = tan²θ + sec²θ + 2 sec θ tan θ – 1

= tan²θ + (1 + tan²θ) + 2 sec θ tan θ – 1

= 2 tan²θ + 2 sec θ tan θ 

= 2 tan θ (tan θ + sec θ)

= `2 · (sin θ)/(cos θ) · ((sin θ)/(cos θ) + 1/(cos θ))`

= `(2 sin θ(1 + sin θ))/(cos^2θ)`

= `(2 sin θ(1 + sin θ))/((1 - sin^2θ))`

= `(2 sin θ)/((1 - sin θ))`