Question

निम्न समीकरणों में से कौन-कौन से द्विघात समीकरण हैं?

q₁: (y + 1)² = 2y

q₂: (y – 1)² = y²

q₃: (y + 1)³ = (y – 1)³

`q_4: 1 + sqrt(y) = (sqrt(y) + 1)^2`

Options

• q₁, q₂ and q₄

• q₁ and q₂

• q₁, q₃ and q₄

• q₁ and q₃

Answer 1

q₁ and q₃

स्पष्टीकरण:

1. q₁ को सरल कीजिए: (y + 1)2 = 2y

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: y² + 2y + 1 = 2y

दोनों पक्षों से 2y घटाने पर: y² + 1 = 0

यह एक द्विघात समीकरण है क्योंकि चर की उच्चतम घात 2 है।

2. q₂ को सरल कीजिए: (y – 1)² = y²

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: y² – 2y + 1 = y²

दोनों पक्षों से y² घटाने पर: –2y + 1 = 0

यह एक रैखिक समीकरण है, द्विघात नहीं, क्योंकि y² वाले पद कट जाते हैं।

3. q₃ को सरल बनाएं: (y + 1)³ = (y – 1)³

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ का उपयोग करके दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

(y³ + 3y² + 3y + 1) = (y³ – 3y² + 3y – 1)

y³ और 3y पद निरस्त होते हैं: 3y² + 1 = –3y² – 1

पदों को मिलाना: 6y² + 2 = 0

यह एक द्विघात समीकरण है, क्योंकि y³ वाले पद कट जाते हैं और y² उच्चतम घात के रूप में शेष रह जाता है।

4. q₄ को सरल बनाएं: `1 + sqrt(y) = (sqrt(y) + 1)^2`

सरलीकरण: `1 + sqrt(y) = y + 2sqrt(y) + 1`

पदों को मिलाना: `y + sqrt(y) = 0`

यह एक द्विघात समीकरण नहीं है, क्योंकि इसमें एक वर्गमूल पद `(sqrt(y))` शामिल है; जिसका अर्थ है कि यह y में एक बहुपद नहीं है।