Question

किसी डोरी पर कोई प्रगामी गुणावृत्ति तरंग इस प्रकार व्यक्त की गई है।

y(x, t) = 7.5 sin `(0.0050 x + 12"t" + pi/4)`

1. x = 1 cm तथा t = 1 s पर किसी बिन्दु का विस्थापन तथा दोलन की चाल ज्ञात कीजिए। क्या यह चाल तरंग संचरण की चाल के बराबर है?
2. डोरी के उन बिन्दुओं की अवस्थिति ज्ञात कीजिए जिनका अनुप्रस्थ विस्थापन तथा चाल उतनी ही है जितनी x = 1 cm पर स्थित बिन्दु की समय t = 2 s, 5 s तथा 11 s पर है।

Answer 1

विस्थापन y(x, t) = 7.5 sin `(0.0050 x + 12"t" + pi/4)`       ...(1)

कण के दोलन की चाल

u = `"dy"/"dx" = 7.5 xx 12 cos (0.0050 x + 12"t" + pi/4)`

अथवा u = 90 cos `(0.0050 x + 12"t" + pi/4)`     ....(2)

(a) x = 1 सेमी तथा t = 1 सेकंड पर विस्थापन

y(1, 1) = 7.5 sin `[0.0050 xx 1 + 12 + 3.14/4]`

= 7.5 sin (12.7904 रेडियन)

 या y = 7.5 sin `(12.7904 xx 180^circ/pi)`

`= 7.5 sin (12.7904/3.14 xx 180^circ)`

= 7.5 sin (732.83°)

= 7.5 sin (720° + 12.83°)

= 7.5 sin 12.83°

= 7.5 × 0.2215

= 1.67 सेमी

तरंग का दीलनकाल T = `(2pi)/omega = (2pi)/12 = 3.14/6` = 0.52 सेकंड

तथा u = 90 cos (0.0050 × 1 + 12 × 1 + 314)

= 90 cos 73.3° = 90 cos (720° + 13°) = 90 cos 13°

= 90 × 0.97 = 87.7 सेमी/से

दिए गए समीकरण (1) की तुलना `"y" = "a" sin (omega"t" + "k"x + phi_0)` से करने पर,

ω = 12 रे/से तथा k = 0.0050 रे/सेमी 

∴ तरंग चाल `v = omega/"k" = 12/(0.0050 "रे"//"सेमी")`

= 24 सेमी/से

अतः स्पष्ट है कि कण की दोलन चाल तरंग चाल के बराबर नहीं हैं। 

(b) परस्पर ± nλ दूरियों पर स्थित सभी बिंदुओं पर स्थित कणों का विस्थापन तथा दोलन चाल समान होगी। (जहाँ λ = तरंगदैर्घ्य)

जहाँ k = `(2pi)/lambda` से `lambda = (2pi)/"k" = ((2 xx 3.14)/0.0052)` सेमी 

= 1.26 × 10² सेमी = 12.6 मी

x = 0.01 मी, 12.61 मी, 25.2 मी ... पर कणों का विस्थापन तथा चाल समान होगी।