Question

If `sqrt(y + x) + sqrt(y - x)` = c, show that `"dy"/"dx" = y/x - sqrt(y^2/x^2 - 1)`.

Answer 1

`sqrt(y + x) + sqrt(y - x)` = c
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

`(1)/(2sqrt(y + x))."d"/"dx"(y + x) + (1)/(2sqrt(y - x))."d"/"dx"(y - x)` = 0

∴ `(1)/sqrt(y + x).(dy/dx + 1) + (1)/sqrt(y - x).(dy/dx - 1)` = 0

∴ `(1)/sqrt(y + x)."dy"/"dx" + (1)/sqrt(y + x) + (1)/sqrt(y - x)."dy"/"dx" - (1)/sqrt(y - x)` = 0

∴ `(1/sqrt(y + x) + 1/sqrt(y - x))"dy"/"dx" = (1)/sqrt(y - x) - 1/sqrt(y + x)`

∴ `[(sqrt(y - x) + sqrt(y + x))/(sqrt(y + x).sqrt(y - x))]"dy"/"dx" = (sqrt(y + x) + sqrt(y - x))/(sqrt(y - x).sqrt(y + x)`

∴ `"dy"/"dx" = (sqrt(y + x) + sqrt(y - x))/(sqrt(y + x).sqrt(y - x)`

= `= (sqrt(y + x) + sqrt(y - x))/(sqrt(y + x)+ sqrt(y - x)) xx (sqrt(y + x) + sqrt(y - x))/(sqrt(y + x) - sqrt(y - x)`

= `((sqrt(y + x) - sqrt(y - x)^2))/((y + x) - (y - x)`

= `(y + x + y - x - 2sqrt(y + x).sqrt(y - x))/(y + x - y + x)`

= `(2y - 2sqrt(y^2 - x^2))/(2x)`

= `(2y)/(2x) - (2sqrt(y^2 - x^2))/(2x)`

= `y/x - sqrt((y^2 - x^2)/x^2)`

∴ `"dy"/"dx" = y/x - sqrt(y^2/x^2 - 1)`