Question

If y = e^ax.sin(bx), show that y₂ – 2ay₁ + (a² + b²)y = 0.

Answer 1

y = e^ax.sin(bx)                                ...(1)

∴ `"dy"/"dx" = "d"/"dx"[e^(ax).sin(bx)]`

= `e^(ax)."d"/"dx"[sin(bx)] + sin(bx)."d"/"dx"(e^(ax))`

= `e^(ax).cos(bx)."d"/"dx"(bx) + sin(bx) xx e^(ax)."d"/"dx"(ax)`

= e^ax . cos (bx) x b + e^ax . sin (bx) x a
∴ y₁ = e^ax[b cos (bx) + a sin (bx)]   ...(2)
Differentiating again w.r.t. x, we get

`"dy"_1/"dx" = "d"/'dx"[e^(ax){b  cos (bx) + a sin (bx)}]`

= `e^(ax)."d"/"dx"[b cos (bx) + a sin (bx)] + [b cos (bx) + a sin (bx)]."d"/"dx"(e^ax)`

= `e^(ax).[b{ - sin(bx)}."dy"/"dx"(bx) + a cos (bx)."dy"/"dx" (bx)] + [b cos(bx) + a sin (bx)] xx e^(ax)."d"/"dx"(ax)`

= e^ax [– b sin (bx) x b + a cos (bx) x b} + [b cos (bx) + a sin (bx)e^ax x a

= e^ax [–b²sin (bx) + ab cos (bx) + a²sin (bx)]
∴ y₂ = e^ax [–b²sin (bx) + 2ab cos (bx) + a²sin (bx)]  ...(3)
∴ y² – 2ay₁ + (a² + b²)y

= e^ax [– b²sin (bx) + 2ab cos (bx) + a²sin (bx)] – 2a.e^ax[b cos (bx) + a sin (bx)] + (a² + b²)e^ax sin (bx)  ...[By (1), (2) and (3)]

= e^ax [– b²sin bx + 2ab cos (bx) + a²sin (bx) – 2ab cos (bx) – 2a²sin (bx) + a²sin (bx) + b²sin (bx)]

= e^ax x 0
∴ y₂ – 2ay₁ + (a² + b²)y = 0.