Question

If `sin θ = (a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)`, find the values of all T-ratios of θ.

Answer 1

We have sin θ = `(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)`

As, 

`Cos^2 θ = 1 - sin^2 θ`

`= 1- ((a^2 -b^2)/(a^2 + b^2))^2`

`= 1/1 - ((a^2 - b^2)/(a^2 + b^2))^2`

`= ((a^2 + b^2)^2 -( a^2 - b^2)^2)/(a^2 + b^2)^2`

`= ([(a^2 +b^2)-(a^2-b^2)][(a^2+b^2)+(a^2-b^2)])/((a^2+b^2)^2)`

`= ([(a^2 + b^2-a^2 +b^2][a^2+b^2+a^2-b^2)])/((a^2+b^2)^2)`

`= ([2b^2][2a^2])/((a^2+b^2)^2)`

`= cos^2 θ = (4a^2b^2)/((a^2+b^2)^2)`

`= cosθ= sqrt((4a^2b^2)/(a^2+b^2)^2)`

`⟹  cos θ =(2ab)/((a^2+b^2))`

Also, 

tan θ = `sinθ/cosθ`

`= (((a^2-b^2)/(a^2+b^2)))/(((2ab)/(a^2 +b^2))`

`=(a^2-b^2)/(2ab)`

Now , 

cosec θ =` 1/sinθ`

=`1/(((a^2-b^2)/(a^2-b^2)))`

`= (a^2 + b^2)/(2ab)`

Also,

sec θ`= 1/(cosθ)`

= `1/(((2ab)/(a^2+b^2)))`

= `(a^2+b^2)/(2ab)`

And,

cot θ = `1/( tan θ)`

`= 1/(((a^2-b^2)/(2ab)))`

`= (2ab)/(a^2-b^2)`