Question

If `[ 2 + sqrt5 ]/[ 2 - sqrt5] = x and  [2 - sqrt5 ]/[ 2 + sqrt5] = y`; find the value of x² - y².

Answer 1

x =`[ 2 + sqrt5 ]/[ 2 - sqrt5]`                           

=`[ 2 + sqrt5 ]/[ 2 - sqrt5] xx [ 2 + sqrt5 ]/[ 2 + sqrt5] `      

=`[( 2 + sqrt5)^2]/[2^2 - (sqrt5)^2]`

=`( 4 + 4sqrt5 + 5)/(4 - 5)`

=`( 9 + 4sqrt5)/ -1`

= `- ( 9 - 4sqrt5)`

y = `[2 - sqrt5 ]/[ 2 + sqrt5]`

=`[ 2 - sqrt5 ]/[ 2 + sqrt5] xx [ 2 - sqrt5 ]/[ 2 - sqrt5] `

=`[( 2 - sqrt5)^2]/[2^2 - (sqrt5)^2]`

=`( 4 - 4sqrt5 + 5)/(4 - 5)`

=`( 9 - 4sqrt5 )/ -1`

=` - ( 9 + 4sqrt5 )`

∴ ` x^2 - y^2 = ( - 9 - 4sqrt5 )^2 - ( - 9 + 4sqrt5 )^2`

= `81 + 72sqrt5 + 80 - ( 81 - 72sqrt5 + 80)`

= `81 + 72sqrt5 + 80 - 81 + 72sqrt5 - 80`

= `144sqrt5`