Question

गाउस नियम का उपयोग किए बिना किसी एकसमान रैखिक आवेश घनत्व 2 के लम्बे पतले तार के कारण विद्युत-क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त कीजिए।[संकेत : सीधे ही कूलॉम नियम का उपयोग करके आवश्यक समाकलन का मान निकालिए।]

Answer 1

एकसमान रैखिक आवेश घनत्व वाले लम्बे पतले तार के कारण विद्युत-क्षेत्र (Electric Field due to a Long Straight Wire having Uniform Linear Charge Density)- माना एक लम्बे सीधे धनावेशित तार को एकसमान रैखिक आवेशं घनत्व है। हमें इस तार के कारण किसी बिन्दु P पर विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। बिन्दु P से तार पर लम्ब PO खींचा। तार पर बिन्दु 0 से x दूरी पर एक सूक्ष्म अवयव AB = dx लिया।

∵ रैखिक आवेश घनत्व = λ

∴ अवयव dx पर आवेश की मात्रा dq = λdx

इस अवयव dx के कारण बिन्दु P पर

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता dE = `1/(4piepsilon_0)*"dq"/("AP"^2)`  AP दिशा में

माना ∠OPA = θ तथा OP = r

विद्युत क्षेत्र dE को OP के अनुदिश तथा OP के लम्ब्वत दिशा में वियोजित करने पर,

OP के लम्बवत दिशा में वियोजित घटक = dE sin θ

व OP के अनुदिश दिशा में वियोजित घटक = dE cos θ

∵ तार लम्बा है तथा बिन्दु O के दोनों ओर जाता है; अतः एक ओर के प्रत्येक अवयव dx के संगत दूसरी ओर भी एक अन्य अवयव dx अवश्य ही ऐसा होगा कि इन दोनों के कारण OP के लम्ब दिशा में विद्यूत क्षेत्र के वियोजित घटक परस्पर निरस्त करेंगे जबकि OP की दिशा में वियोजित घटक परस्पर जुड़ जाएँगे।

अतः पुरे तार के कारण बिन्दु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता

E = ∑ dE cos θ

परन्तु `cos theta = "OP"/"AP"` तथा AP² = OP² + OA²

`=> "AP" = ("r"^2 + x^2)^(1//2)`

`therefore "E" = sum 1/(4 piepsilon_0) * "dq"/"AP"^2 xx "OP"/"AP"`

`= sum 1/(4 pi epsilon_0) * ("r" lambda "dx")/("AP")^3`

`= sum (lambda"r")/(4piepsilon_0) * "dx"/(x^2 + "r"^2)^(3//2)`

`= int_(x = - oo)^oo (lambda"r")/(4piepsilon_0) * "dx"/(x^2 + r^2)^(3//2)`

x = r tan θ रखने पर,

dx = r . sec² θ dθ

x = - ∞    `=> theta = - pi/2`

व x = + ∞     `=> theta = pi/2`

`therefore "E" = (lambda"r")/(4piepsilon_0) int_(-pi//2)^(pi//2) ("r" sec^2 theta "d" theta)/(["r"^2 tan^2 theta + "r"^2]^(3//2))`

`= lambda/(4piepsilon_0"r") int_(-pi//2)^(pi//2)  (sec^2 theta "d"theta)/(sec^3 theta)`

`= lambda/(4piepsilon_0"r") xx 2 int_0^(pi//2) cos theta "d"theta`

`= lambda/(2piepsilon_0"r") [sin theta]_0^(pi//2)`

`= lambda/(2piepsilon_0"r")`(1 - 0)

∴ तार से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता 

E = `1/(2piepsilon_0) * lambda/"r"`

क्षेत्र की दिशा तार के लम्ब्वत तथा तार से परे होगी। यदि तार ऋणावेशित है तो क्षेत्र की दिशा तार की ओर होगी।