Question

किसी खोखले आवेशित चालक में उसके पृष्ठ पर कोई छिद्र बनाया गया है। यह दर्शाइए कि छिद्र में विद्युत-क्षेत्र (σ/2ε₀) `hat"n"` है, जहाँ  `hat"n"` अभिलम्बवत् दिशा में बहिर्मुखी एकांक सदिश है तथा σ छिद्र के निकट पृष्ठीय आवेश घनत्व है।

Answer 1

माना किसी खोखले चालक को कुछ धनावेश दिया गया है, जो तुरन्त ही उसके पृष्ठ पर समान रूप से वितरित हो जाता है। माना आवेश का पृष्ठ घनत्व σ है। चालक के पृष्ठ के किसी अवयव dA पर विचार कीजिए। स्पष्ट है कि इस क्षेत्रफल अवयव पर उपस्थित आवेश की मात्रा q = σ dA होगी। माना इस क्षेत्रफल अवयव के अत्यन्त समीप चालक के पृष्ठ के बाहर तथा अन्दर दो बिन्दु क्रमश: P तथा Q हैं। चूँकि बिन्दु P पृष्ठ के समीप है; अतः चालक के कारण बिन्दु P पर विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता E = \[\ce{\frac{\sigma}{{\epsilon}_{0}}}\] पृष्ठ के लम्बवत् बाहर की ओर होगी। माना बिन्दु P पर अवयव dA तथा शेष चालक के कारण विद्युत-क्षेत्र की तीव्रताएँ क्रमश: E₁ व E₂ हैं, तब स्पष्टतया E₁ व E₂ दोनों पृष्ठ के लम्बवत् बाहर की ओर होंगी तथा परिणामी तीव्रता E, E₁ व E₂ के योग के बराबर होगी।

अतः E₁ + E₂ = \[\ce{\frac{\sigma}{{\epsilon}_{0}}}\] …..(1)
चूँकि बिन्दु Q क्षेत्रफल अवयव dA के अत्यन्त समीप परन्तु P के विपरीत ओर है; अतः इस अवयव के कारण बिन्दु Q पर क्षेत्र की तीव्रता E₁ के बराबर परन्तु दिशा में विपरीत होगी, जबकि शेष चालक के कारण Q पर विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता E₂ के बराबर तथा उसी की दिशा में होगी। चूँकि बिन्दु Q चालक के अन्दर है; अतः बिन्दु Q पर परिणामी तीव्रता शून्य होगी।

अतः बिन्दु Q पर परिणामी तीव्रता E₂ – E₁ = 0

अथवा E₁ = E₂ [बिन्दु Q पर E₁ व E₂ के विपरीत हैं।]
समीकरण (1) से, E₁ = E₂ = \[\ce{\frac{\sigma}{2{\epsilon}_{0}}}\]
अतः शेष चालक के कारण बिन्दु P पर विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता
E₂ = \[\ce{\frac{\sigma}{2{\epsilon}_{0}}}\] अब यदि बिन्दु P पर एक छिद्र कर दिया जाए तो क्षेत्र अवयव dA तथा इसके कारण आन्तरिक बिन्दु Q पर विद्युत-क्षेत्र E₁ दोनों समाप्त हो जाएँगे।
तब विद्युत-क्षेत्र E₂ छिद्र के किसी बिन्दु पर केवल शेष चालक के कारण शेष रहेगा।

अतः छिद्र पर विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता

\[\ce{\overset{\rightarrow}{E} = \frac{\sigma}{2{ \epsilon}_{0}}\overset{\wedge}{n}}\]

जहाँ n छिद्र पर बहिर्मुखी दिशा में एकांक सदिश है।