Question

Find all zeros of the polynomial f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 7x² + 3x + 6, if its two zeros are `-sqrt(3/2)` and `sqrt(3/2)`.

Answer 1

Since `-sqrt(3/2)` and `sqrt(3/2)` are two zeros of f(x) Therefore,

`=(x-sqrt(3/2))(x+sqrt(3/2))`

`=(x^2-3/2)`

`=1/2(2x^2-3)` is a factor of f(x).

Also 2x² – 3 is a factor of f(x).

Let us now divide f(x) by 2x² – 3. we have,

                         1x² – 1x – 2
`2x^2 - 3")"overline(+ \cancel(2x^4) - 2x^3 - 7x^2 + 3x + 6)`
              `+ \cancel(2x^4) + 0     - 3x^2`
               –          –         +                  
                        `- \cancel(2x^3) - 4x^2 + \cancel(3x)`
                        `- \cancel(2x^3) - 0     + \cancel(3x)`
                        +          +         –         
                               `- \cancel(4x^2) + \cancel(6)`
                               `- \cancel(4x^2) + \cancel(6)`
                                +          –           
                                      0

By using that division algorithm we have,

f(x) = g(x) × q(x) + r(x)

2x⁴ – 2x³ – 7x² + 3x + 6 = (2x² – 3)(x² – x – 2) + 0

2x⁴ – 2x³ – 7x² + 3x + 6 `=(sqrt2x+sqrt3)(sqrt2x-sqrt3)(x^2+1x-2x-2)`

2x⁴ – 2x³ – 7x² + 3x + 6 `=(sqrt2x+sqrt3)(sqrt2x-sqrt3)[x(x+1)-2(x+1)]`

2x⁴ – 2x³ – 7x² + 3x + 6 `=(sqrt2x+sqrt3)(sqrt2x-sqrt3)(x-2)(x+1)`

Hence, The zeros of f(x) are `-sqrt(3/2), sqrt(3/2), 2, -1`.