Question

एक तरबूज बेचने वाले ने तरबूज को लगाया है, जैसे चित्र में दिखाया गया है: हर एक के बाद वाली पंक्ति में तरबूजों की संख्या ‘d’ कम है। सबसे नीचे वाली पंक्ति में 101 तरबूज और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में 1 तरबूज रखा है। नीचे से ऊपर तक 21 पंक्तियाँ हैं।

उपर्युक्त सूचना के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. ‘d’ का मान ज्ञात कीजिए। (1)
2. नीचे से 15वीं पंक्ति में कुल कितने तरबूज लगे हैं? (1)
3. 1. नीचे से ऊपर तक कुल कितने तरबूज लगे हैं? (2)
      अथवा
   2. यदि ऊपर से nवीं पंक्ति में लगे तरबूजों की संख्या नीचे से nवीं पंक्ति में लगे तरबूजों की संख्या के बराबर हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए। (2)

Answer 1

यह एक समांतर श्रेणी बनाता है।

सबसे नीचे वाली पंक्ति (पहला पद) a = 101

सबसे ऊपर वाली पंक्ति (अंतिम पद) l = 1

पंक्तियों की संख्या (n) = 21

सार्व अंतर = d

(i) l = a + (n – 1)d

1 = 101 + (21 – 1)d

⇒ `d = (-100)/20`

d = –5

(ii) a_n = a + (n – 1)d

a₁₅ = 101 + (15 – 1)(–5)

a₁₅ = 101 + 14(–5)

a₁₅ = 101 – 70

a₁₅ = 31

नीचे से 15वीं पंक्ति में 31 तरबूज़ होंगे।

(iii) (a) `S_n = n/2 (a + l)`

`S_21 = 21/2 (101 + 1)`

= `21/2 (102)`

= 21 × 51

= 1071

∴ नीचे से ऊपर तक तरबूजों की कुल संख्या 1071 है।

अथवा

(iii) (b) नीचे से ऊपर की ओर क्रम एक AP है।

101, 96, 91, ... 1

नीचे से n-वीं पंक्ति

a_n = 101 + (n – 1)(–5)

= 101 – 5(n – 1)

ऊपर से n-वीं पंक्ति

यदि कुल 21 पंक्तियाँ हैं, तो ऊपर से n-वीं पंक्ति = (21 – n + 1) = नीचे से (22 – n)-वां पद।

a_22–n = 101 – 5((22 – n) – 1)

= 101 – 5(21 – n)

101 – 5(n – 1) = 101 – 5(21 – n)

106 – 5n = –4 + 5n

106 + 4 = 5n + 5n

110 = 10n

n = 11