Question

एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह 'X' अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह 'Y' अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो अग्रलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। 

1. सभी पर चिन्ह 'X' अंकित हो।
2. 2 से अधिक पर चिन्ह 'Y' नहीं अंकित हो।
3. कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह 'Y' अंकित हो।
4. 'X' तथा 'Y' चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।

'X' चिन्ह से अंकित गेंदों की संख्या का माध्य भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

कुल गेंदों की संख्या = 25

मान लीजिए घटना A तथा B गेंद पर X और Y की स्थिति को दर्शाता है। यहाँ n = 6, गेंदें जो कलश से निकली गई।

∴ P(A) = `10/25 = 2/5`, P(B) = `1 - 2/5 = 3/5`

i. सभी पर चिन्ह 'X' अंकित हो।

P(सभी पर चिन्ह X हो) = P(X = 6) = `(2/5)^6`

ii. 2 से अधिक पर चिन्ह 'Y' नहीं अंकित हो।

घटना: 2 से अधिक गेंद पर Y अंकित न होना = {(6X, 0Y), (5X, 1Y), (4X, 2Y)}

∴ P(2 से अधिक गेंदों पर Y अंकित न होना) = P(6) + P(5) + P(4)

= `(2/5)^6 + ""^6"C"_5 (3/5) (2/5)^5 + ""^6"C"_4 (3/5)^2 (2/5)^4`

= `(2/5)^4 xx [4/25 + 6/1 xx 3/5 xx 2/5 + (6 xx 5)/(1 xx 2) xx 9/25]`

= `(2/5)^4 xx [4/25 + 36/25 + 135/25]`

= `(2/5)^4 xx 175/25`

= `7 xx (2/5)^4`

iii. कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह 'Y' अंकित हो।

घटना: कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह 'Y' अंकित हो।

= {(5X, Y), (4X, 2Y), (3X, 3Y), (2X, 4Y), (1X, 5Y), (0X, 6Y)}

P(कम से कम 1 गेंद पर Y लिखा हो)

= 1 – (चिन्ह Y अंकित न हो)

= 1 – P(सभी गेंदों पर X अंकित हो)

= `1 - (2/5)^6`

iv. 'X' 'Y' चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।

घटना: X तथा Y से अंकित गेंदों की संख्या समान हो।

= P{(3X, 3Y)}

P(3) = `(3/5)^3 (2/5)^3`

= `(6 xx 5 xx 4)/(1 xx 2 xx 3) xx 27/125 xx 8/125`

= `20 xx 27/125 xx 8/125`

= `864/3125`