Question

दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ‘HOPE’ जिसके शीर्ष H(–2, 1), О(–1, 2), P(0, 1) और E(–1, 0) हैं, एक समचतुर्भुज है। क्या यह एक वर्ग है? औचित्य सिद्ध कीजिए।

Answer 1

दिया गया:

H(–2, 1), О(–1, 2), P(0, 1) और E(–1, 0)

1. हम भुजा और विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं।

d = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

`HO = sqrt((-1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2)`

= `sqrt(1^2 + 1^2)`

= `sqrt(2)`

`OP = sqrt((0 - (-1))^2 + (1 - 2)^2)`

= `sqrt(1^2 + (-1)^2)`

= `sqrt(2)`

`PE = sqrt((-1 - 0)^2 + (0 - 1)^2)`

= `sqrt((-1)^2 + (-1)^2)`

= `sqrt(2)`

`EH = sqrt((-2 - (-1))^2 + (1 - 0)^2)`

= `sqrt((-1)^2 + 1^2)`

= `sqrt(2)`

चारों भुजाएँ बराबर हैं, प्रत्येक = `sqrt(2)`.

2. विकर्णों:

HP: H(–2, 1) और P(0, 1) के बीच:

`HP = sqrt((0 - (-2))^2 + (1 - 1)^2)`

= `sqrt(2^2 + 0^2)`

= `sqrt(4)`

= 2

दोनों विकर्ण बराबर हैं, प्रत्येक = 2

3. समकोण:

HO का ढलान = `(2 - 1)/(-1 - (-2))`

= `1/1`

= 1

OP का ढलान = `(2 - 1)/(-1 - (-2))` = `(1 - 2)/(0 - (-1))`

= `(-1)/1`

= –1

ढलानों का गुणनफल = 1 × (–1) = –1

⇒ HO ⟂ OP, इसलिए O पर कोण 90° है।

चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए HOPE एक समचतुर्भुज है।

क्योंकि इसकी आस-पास की भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं, इसलिए यहाँ एक समकोण बनता है; इसी तरह, क्योंकि इस समचतुर्भुज (rhombus) के विकर्ण बराबर हैं, इसलिए HOPE एक वर्ग है।