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प्रश्न
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ‘HOPE’ जिसके शीर्ष H(–2, 1), О(–1, 2), P(0, 1) और E(–1, 0) हैं, एक समचतुर्भुज है। क्या यह एक वर्ग है? औचित्य सिद्ध कीजिए।
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उत्तर
दिया गया:
H(–2, 1), О(–1, 2), P(0, 1) और E(–1, 0)
1. हम भुजा और विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं।
d = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`
`HO = sqrt((-1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2)`
= `sqrt(1^2 + 1^2)`
= `sqrt(2)`
`OP = sqrt((0 - (-1))^2 + (1 - 2)^2)`
= `sqrt(1^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(2)`
`PE = sqrt((-1 - 0)^2 + (0 - 1)^2)`
= `sqrt((-1)^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(2)`
`EH = sqrt((-2 - (-1))^2 + (1 - 0)^2)`
= `sqrt((-1)^2 + 1^2)`
= `sqrt(2)`
चारों भुजाएँ बराबर हैं, प्रत्येक = `sqrt(2)`.
2. विकर्णों:
HP: H(–2, 1) और P(0, 1) के बीच:
`HP = sqrt((0 - (-2))^2 + (1 - 1)^2)`
= `sqrt(2^2 + 0^2)`
= `sqrt(4)`
= 2
दोनों विकर्ण बराबर हैं, प्रत्येक = 2
3. समकोण:
HO का ढलान = `(2 - 1)/(-1 - (-2))`
= `1/1`
= 1
OP का ढलान = `(2 - 1)/(-1 - (-2))` = `(1 - 2)/(0 - (-1))`
= `(-1)/1`
= –1
ढलानों का गुणनफल = 1 × (–1) = –1
⇒ HO ⟂ OP, इसलिए O पर कोण 90° है।
चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए HOPE एक समचतुर्भुज है।
क्योंकि इसकी आस-पास की भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं, इसलिए यहाँ एक समकोण बनता है; इसी तरह, क्योंकि इस समचतुर्भुज (rhombus) के विकर्ण बराबर हैं, इसलिए HOPE एक वर्ग है।
