Question

दोनों सिरों पर परिबद्ध किसी तानित डोरी पर अनुप्रस्थ विस्थापन को इस प्रकार व्यक्त किया गया है

`"y"  (x, "t") = 0.06  "sin" ((2pi)/3 x) "cos" (120  pi  "t")` से करने पर,

जिसमें x तथा y को मीटर में तथा t को s में लिया गया है। इसमें डोरी की लंबाई 1.5 m है जिसकी संहति 30 × 10^-2 kg है। निम्नलिखित का उत्तर दीजिए:

इसकी व्याख्या विपरीत दिशाओं में गमन करती दो तरंगों के अध्यारोपण के रूप में करते। हुए प्रत्येक तरंग की तरंगदैर्घ्य, आवृत्ति तथा चाल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

∵ 2 sin A . cos B = sin (A + B) + sin (A - B)

∴ `"y"(x, "t") = 0.06  "sin"  ((2pix)/3) . "cos"  (120pi"t")`

`= 0.03 ["sin"  ((2pix)/3 + 120pi"t") + "sin"((2pix)/3 - 120pi"t")]`

`= 0.03  "sin"  (120pi"t" + (2pix)/3) - 0.03  "sin"  (120pi"t" - (2pix)/3)`

= y₁ + y₂

∴ आपतित तरंग  `"y"_1 = 0.03  "sin" (120pi"t" + (2pix)/3)`      ...[X - अक्ष की ऋणात्मक दिशाएँ संचरित प्रगामी तरंग]

परावर्तित तरंग  `"y"_2 = - 0.03  "sin"  (120 pi"t" - (2pix)/3)`      ...[X - अक्ष की धनात्मक दिशाएँ संचरित प्रगामी तरंग जो दृढ़ तल से परावर्तन के फलस्वरूप उत्पन्न हुई है।]

अब मूल प्रगामी तरंग `"y"_1 = 0.03  "sin"  (120pi"t" + (2pix)/3)` की तुलना

प्रामाणिक समीकरण  `"y"_2 = alpha  "sin"  (ω"t" + "k"x)`  से करने पर,

आयाम α = 0.03 m, ω = 120 π rad/s; k = `(2pi)/3`

∴ आवृत्ति `"n" = ω/(2pi)`

`= (120pi)/(2 pi)`

= 60 s^-1

तरंगदैर्घ्य `lambda = (2pi)/"k"`

`= (2pi)/(2pi//3)`

= 3 m

चाल υ = nλ

= 60 s^-1 × 3 m

= 180 m-s^-1