Question

दी गयी आकृति में दो त्रिभुज ΔABC तथा ΔPQR दर्शाये गये हैं ताकि ∠A = ∠P तथा ∠C = ∠R है। यदि AD ⊥ BC तथा PS ⊥ QR है तो सिद्ध कीजिए कि (i) ΔADB ~ ΔPSQ (ii) AD × QS = BD × PS।

Answer 1

दिया है:

दो त्रिभुज ABC और PQR इस प्रकार हैं कि ∠A = ∠P और ∠C = ∠R.

AD ⊥ BC और PS ⊥ QR

सिद्ध करना है:

ΔADB ~ ΔPSQ

AD × QS = BD × PS

(i) सिद्ध कीजिए ΔADB ~ ΔPSQ

चरण 1: समकोणों की पहचान करें

चूँकि AD ⊥ BC, ∠ADB = 90° है।

चूँकि PS ⊥ QR, ∠PSQ = 90° है।

चरण 2: दिए गए कोण

∠A = ∠P   ...(दिया है)

चरण 3: कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी का उपयोग करें

ΔADB और ΔPSQ में, हमारे पास है:

∠ADB = ∠PSQ = 90°

∠A = ∠P   ...(दिया गया है)

इसलिए, AA समरूपता कसौटी के अनुसार,

ΔADB ~ ΔPSQ

(ii) सिद्ध कीजिए कि AD × QS = BD × PS

चूँकि ΔADB ∼ ΔPSQ है, अतः संगत भुजाएँ समानुपाती हैं:

`"AD"/"PS" = "BD"/"QS" = "AB"/"PQ"`

पहले दो अनुपातों से:

`"AD"/"PS" = "BD"/"QS"`

⇒ AD × QS = BD × PS

इससे ज़रूरी रिलेशन साबित होता है।

इसलिए, दोनों भाग (i) और (ii) साबित हो जाते हैं।