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Question
दी गई आकृति में, यदि एक वृत्त, Δ PQR की भुजा QR को S पर और बढ़ाई गई भुजाओं PQ और PR को क्रमशः M और N पर स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए:
PM = `1/2` (PQ + QR + PR)
Theorem
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Solution
दिया है: PM, PN, QR स्पर्श रेखाएँ हैं।
बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है:
PM = PN ...(i)
QM = QS ...(ii)
RN = RS ...(iii)
त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है:
परिमाप = PQ + QR + PR
चूँकि बिंदु S, QR पर स्थित है,
QR = QS + SR ...(iv)
बिंदु Q, PM पर स्थित है,
PM = PQ + QM ...(v)
बिंदु R, PN पर स्थित है,
PN = PR + RN ...(vi)
दायाँ पक्ष = `1/2` [PQ + QR + PR]
= `1/2`[PQ + QS + SR + PR] ...[समीकरण (iv) का उपयोग करने पर]
= `1/2`[PQ + QM + RN + PR] ...[समीकरण (ii) और (iii) का उपयोग करने पर]
= `1/2`[PM + PN] ...[समीकरण (v) और (vi) का उपयोग करने पर]
= `1/2` [PM + PM] ...[समीकरण (i) का उपयोग करने पर]
= `1/2 xx 2 PM`
= PM
= बायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
shaalaa.com
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