Question

बिंदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।

Answer 1

माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।

दिए गए बिंदु A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) इस प्रकार हैं कि

PA + PB = 10

`sqrt((x - 4)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2) + sqrt((x + 4)^2 + (y + 0)^2 + (z - 0)^2)` = 10

या `sqrt(x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16) = 10 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

`x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16 = 100 + (x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16) - 20 sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`

−16x −100 = −20`sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`

= 4x + 25 = `5sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`

पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

= (4x + 25)² = 25(x² + y² + z² + 8x + 16)

= 16x² + 200x + 625 = 25x² + 25y² + 25z² + 200x + 400

= 9x² + 25y² + 25z² - 225 = 0

अंत: अभीष्ट समीकरण 9x² + 25y² + 25z² - 225 = 0