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Question
बिंदु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = ex sin x है।
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Solution 1
दिया है y’ = ex sin x
या `dy/dx = e^x sin x`
⇒ dy = ex sin x dx .....(i)
समाकलन करने पर,
`int 1. dy = int e^x sin x dx`
y `= 1/2 e^x (sin x - cos x)` = C ...... (ii)
तब समीकरण (ii) से
`0 = 1/2 e^0` (sin 0 - cos 0 )+ C
`0 = 1/2` (0 - 1) + C ⇒ C `= 1/2`
C `= 1/2` समीकरण (ii) में रखने पर,
y `= 1/2 e^x (sin x - cos x) + 1/2`
y `= 1/2 [e^x (sin x - cos x) + 1]`
2y - 1 `= e^x (sin x - cos x)`
Solution 2
हमारे पास है,
y' = ex sin x
⇒ `dy/dx = e^x sin x`
⇒ `dy = e^x sin x dx` ....(1)
दोनों पक्षों (1) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`int dy = inte^x sin x dx`
⇒ `y = -e^x cos x + int e^x cos x dx`
⇒ `y = -e^x cos x + e^x sin x - int e^x sin x dx`
⇒ `y = - e^x cos x +e^x sin x - y + C`
⇒ `2y = -e^x cos x + e^x sin x + C`
As pint (0, 0) lies on it, i.e., x = 0, y = 0
∴ 0 = -e0 + C
⇒ C = 1
∴ अभीष्ट समीकरण है,
2y = -ex cos x + ex sin x + 1
अत:, 2y - 1 = ex (sin x - cos x)
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