Question

बिंदु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sin x है।

Answer 1

दिया है y’ = e^x sin x

या `dy/dx = e^x sin x`

⇒ dy = e^x sin x dx                                .....(i)

समाकलन करने पर,

`int 1. dy = int e^x  sin x  dx`

y `= 1/2  e^x (sin x - cos x)` = C                ...... (ii)

तब समीकरण (ii) से

`0 = 1/2  e^0` (sin 0 - cos 0 )+ C

`0 = 1/2` (0 - 1) + C ⇒ C `= 1/2`

C `= 1/2` समीकरण (ii) में रखने पर,

y `= 1/2  e^x (sin x - cos x) + 1/2`

y `= 1/2 [e^x (sin x - cos x) + 1]`

2y - 1 `= e^x (sin x - cos x)`

Answer 2

हमारे पास है,

y' = e^x sin x

⇒ `dy/dx = e^x sin x`

⇒ `dy = e^x sin x dx`                    ....(1)

दोनों पक्षों (1) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं।

`int dy = inte^x sin x dx`

⇒ `y = -e^x cos x + int e^x cos x dx`

⇒ `y = -e^x cos x + e^x sin x - int e^x sin x dx`

⇒ `y = - e^x cos x +e^x sin x - y + C`

⇒ `2y = -e^x cos x + e^x sin x + C`

As pint (0, 0) lies on it, i.e., x = 0, y = 0

∴ 0 = -e⁰ + C

⇒ C = 1

∴ अभीष्ट समीकरण है,

2y = -e^x  cos x + e^x sin x + 1

अत:, 2y - 1 = e^x (sin x - cos x)