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Question
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा BC पर E कोई एक बिंदु है ; रेखा DE रेख AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती है । तो सिद्ध कीजिए कि DE × BE = CE × TE।
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Solution
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠A ≅ ∠C ...........(सम्मुख कोण)
अर्थात, ∠A ≅ ∠DCE ...........(1)
रेख AD || रेख BC ........(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
∠A ≅ ∠TBE .........(संगत कोण) ........(2)
∴ ∠DCE ≅ ∠TBE ..........[(1) तथा (2) से] .......(3)
ΔDEC तथा ΔTEB में, ∠DCE ≅ ∠TBE .....(3 से)
∠DEC ≅ ∠TEB ..........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔDEC ∼ ΔTEB ........(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"DE"/"TE" = "CE"/"BE"` .............(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती है | )
∴ DE × BE = CE × TE.
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A(ΔPQF) = 20 वर्ग इकाई, PF = 2 DP, माना DP = x ∴ PF = 2x
DF = DP + `square = square + square = 3x`
ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
A(ΔFDE) = `9/4`A(ΔFPQ ) = `9/4 xx square = square`
A(`square`DPQE) = A(ΔFDE) - A(ΔFPQ)
= `square - square`
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कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
