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Question
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा BC पर E कोई एक बिंदु है ; रेखा DE रेख AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती है । तो सिद्ध कीजिए कि DE × BE = CE × TE।
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Solution
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠A ≅ ∠C ...........(सम्मुख कोण)
अर्थात, ∠A ≅ ∠DCE ...........(1)
रेख AD || रेख BC ........(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
∠A ≅ ∠TBE .........(संगत कोण) ........(2)
∴ ∠DCE ≅ ∠TBE ..........[(1) तथा (2) से] .......(3)
ΔDEC तथा ΔTEB में, ∠DCE ≅ ∠TBE .....(3 से)
∠DEC ≅ ∠TEB ..........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔDEC ∼ ΔTEB ........(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"DE"/"TE" = "CE"/"BE"` .............(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती है | )
∴ DE × BE = CE × TE.
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आकृति में ∠ABC = 75°, ∠EDC = 75° तो इनमें दो त्रिभुज किस कसौटी के अनुसार समरूप हैं? उनकी समरूपता की एकैकी संगति लिखिए।
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कृति : 2AX = 3BX
∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
आकृति में `square`DEFG एक वर्ग है। ΔABC में ∠A = 90°, बिंदु F भुजा AC पर स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, DE2 = BD × EC (ΔGBD तथा ΔCFE को समरूप दिखाइए और GD = FE = DE का उपयोग कीजिए।)
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
`square`ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD समलंब `square`ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं।
इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
- दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए।
- समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुओं के नाम लिखिए।
