Question

(a + b)⁴ – (a – b)⁴  का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके `(sqrt3 + sqrt2)^4 - (sqrt3 - sqrt2)^4` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, अभिव्यक्ति, (a + b)⁴ और (a – b)⁴ को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है

`(a + b)^4  =  ^4C_0  a^4  +  ^4C_1  a^3  b  +  ^4C_2   a^2b^2  +  ^4C_3  ab^3  + ^4C_4  b^4`

(a - b)⁴ = ⁴C₀ a⁴ - ⁴C₁ a³b + ⁴C₂ a²b² - ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄b⁴ 

∴ `(a + b)^4 - (a - b)^4 =  ^4C_0  a^4  +  ^4C_1  a^3  b  +  ^4C_2   a^2b^2  +  ^4C_3  ab^3  +  ^4C_4  b^4`

[⁴C₀ a⁴ - ⁴C₁ a³b + ⁴C₂ a²b² - ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ b⁴]

2 (⁴C₁a³b + ⁴C₃ab³) = 2(4a³b + 4ab³)

= 8ab (a² + b²)

इसमें, `a = sqrt3 ,  b = sqrt2` रखने पर

`(sqrt3  +  sqrt2)^4 - (sqrt3 - sqrt2)^4`

= `8sqrt3. sqrt2 [(sqrt3)^2 + (sqrt2)^2]`

= `8sqrt6 (3 + 2) = 40sqrt6`