Commerce (Hindi Medium) इयत्ता ११ - CBSE Question Bank Solutions for Mathematics (गणित)

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a₁, a₂, a₃ ...., a₁ = 3 तथा a_k = 7a_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹.

सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b₀, b₁, b₂ ...., b₀ = 5 तथा b_k = 4 + b_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए b_n = 5 + 4n.

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d₁, d₂, d₃ ..., d₁ = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,

cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos2²θ ... cos2ⁿ⁻¹θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin  ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin  theta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।

सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ है।

यदि सभी n ∈ N के लिए, 10ⁿ + 3.4^{n + 2} + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।

सभी n ∈ N के लिए, `3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1}`, निम्नलिखित में से किस संख्या से भाज्य है:

यदि xⁿ − 1.x − k, से भाज्य है, तो k का न्यूनतम पूर्णांक है:

यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:

मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।

सम्मिश्र संख्याएं z = `(1 + isqrt3)` (1 + i) (cosθ + isinθ) का कोणांक `(7pi)/12 + theta` है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।

यदि तीन सम्मिश्र संख्याएँ z₁, z₂ और z₃ एक समांतर श्रेणी (A.P) में हैं तो वे सम्मिश्र तल में एक वृत्त पर स्थित होते हैं।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में क्रम संबंध परिभाषित है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।

2 एक सम्मिश्र संख्या है।

स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए: