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प्रश्न
यदि cosec θ + cot θ = p है, तो सिद्ध कीजिए कि cos θ = `(p^2 - 1)/(p^2 + 1)` है।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
cosec θ + cot θ = p
चूँकि, cosec θ = `1/(sintheta)` और cot θ = `(costheta)/(sintheta)`
`1/sintheta + costheta/sintheta` = p
`(1 + costheta)/(sintheta)` = p
L.H.S और R.H.S पर वर्ग बनाना,
`((1 + costheta)/(sintheta))^2` = p2
`(1 + cos^2 theta + 2 cos theta)/(sin^2 theta)` = p2
घटक और लाभांश नियम लागू करना,
`((1 + cos^2 theta + 2 cos theta) - sin^2 theta)/((1 + cos^2 theta + 2 cos theta) + sin^2 theta) = ("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
= `((1 - sin^2theta) + cos^2 theta + 2 cos theta)/(sin^2 theta + cos^2 theta + 1 + 2 cos theta) = ("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
चूँकि, 1 – sin2θ = cos2θ and sin2θ + cos2θ = 1
`(cos^2 theta + cos^2 theta + 2 cos theta)/(1 + 1 + 2 cos theta) = ("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
`(2 cos^2 theta + 2 cos theta)/(2 + 2 cos theta) = ("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
`(2 cos theta(cos theta + 1))/(2(cos theta + 1)) = ("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
cos θ = `("p"^2 - 1)/("p"^2 + 1)`
अतः सिद्ध हुआ।
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