Question

त्रिज्याओं 7 cm और 21 cm वाले दो वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोण क्रमशः 120^∘ और 40^∘ हैं। इन दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल तथा साथ ही संगत चापों की लंबाई ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

Answer 1

मान लीजिए कि संगत चापों की लंबाई l₁ और l₂ है।

दिया गया है कि, त्रिज्यखण्ड PO₁QP की त्रिज्या = 7 cm

और त्रिज्यखण्ड AO₂BA की त्रिज्या = 21 cm

त्रिज्यखंड PO₁QP (θ₁) का केंद्रीय कोण = 120°

और त्रिज्यखंड AO₂BA (θ₂) का केंद्रीय कोण = 40°

∴ केंद्रीय कोण O₁ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= `(pi"r"^2)/360^circ xx θ_1`

= `(pi(7)^2)/360^circ xx 120^circ`

= `22/7 xx (7 xx 7)/360^circ xx 120^circ`

= `(22 xx 7)/3`

= `154/3 "cm"^2`

और केंद्रीय कोण O₂ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= `(pi"r"^2)/360^circ xx θ_2`

= `(pi(21)^2)/360^circ xx 40^circ`

= `22/7 xx (21 xx 21)/360^circ xx 40^circ`

= `(22 xx 3 xx 21)/9`

= 22 × 7

= 154 cm²

अब, त्रिज्यखंड PO₁QP की संगत चाप लंबाई

= `θ_1/360^circ xx 2pi"r"`

= `120^circ/360^circ xx 2 xx 22/7 xx 7`

= `44/3 "cm"` 

और सेक्टर AO₂BA की संगत चाप लंबाई

= `θ_2/360^circ xx 2pi"r"`

= `40^circ/360^circ xx 2 xx 22/7 xx 21`

= `44/3 "cm"`

इसलिए, हम देखते हैं कि दो अलग-अलग वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों की चाप की लंबाई समान हो सकती है लेकिन उनका क्षेत्रफल समान होना आवश्यक नहीं है।